foit égal à ddy que 'o' foit =r" w, ou, ce qui eft la même chofe, que la courbure au la courbure au point " soit la même que la courbure au point infiniment proche i donc fi la figure initiale de la courbe MB eft telle, que le rayon ofculateur change brufquement en quelqu'un des points de cette courbe, la conftruction de M. Euler n'aura pas lieu. Premier cas où cette conftruction est fautive, quoique ce grand Géometre la prétende géné¬ rale & fans exception. §. VIII. Second cas où cette même conftruction eft fautive; c'eft celui où la courbure en A ne sera pas infiniment petite; car alors en transportant, suivant la conftruction de M. Euler, la courbe AM en AG dans une position contraire, on formera une courbe dont la courbure fera un faut en A, & qui par conféquent retombera dans le cas précédent. On dira peut-être que ce cas n'eft pas le même, parce que la courbure eft égale aux points Q, Q', quoique les rayons ofculateurs y foient dirigés en fens contraire. Pour répondre à ce subterfuge, je remarque qu'à la vérité les petites lignes q, l'q' font égales en prenant A L— Li — AL — L'l', mais qu'elles doivent être prifes avec des fignes différens. Car foit PT & PT'— AP, on a (en d dy d t2 Ө +TR & non pas & Tt2 Q'q' , parce que l's' — 2 Q' L' — — 2 Q'q's que l's' & Q'L' doivent être prises négativement par leur pofition & par la conftruction de M. Euler, Maintenant, en ne faisant varier que x, on aura ddy d x2 fi la courbure n'eft pas nulle en A. Second cas où la conftruction de M. Euler n'a pas lieu. §. IX. Troifiéme cas où elle n'a pas lieu, & par les mêmes raisons, c'est celui où la courbure n'est pas nulle en B. Cela fe prouve comme dans l'article précédent, en imaginant, fi l'on veut, l'origine des x transférée en B, pour rendre la démonstration plus simple. Donc en général, toutes les fois que la courbe AMB aura des fauts dans fa courbure, ou que la courbure ne fera pas nulle tant en qu'en B, la conftruction de M. Euler n'aura pas lieu. §. X. Pour rendre les démonftrations précédentes encore plus convaincantes, s'il eft poffible, je vais démontrer encore d'une autre maniere, que l'équation n'a point lieu dans la construction de ddy d x2 ddy d t2 M. Euler. Pour cela je confidere que dans la folution générale d dy (en ne faifant varier que x) eft la différence feconde de trois ordonnées confécutives, dont l'une répond à l'abfciffe xdx, l'autre à l'abfciffe x, la troisième à l'abscisse x + dx; en effet le fommet de l'angle de contingence ddy d x est supposé (dans la folu tion générale) à l'extrêmité de l'ordonnée qui répond à l'abfciffe x. De plus d d y, en ne faisant varier que t, eft la différence feconde ( fuivant la même folution) de trois ordonnées répondantes à la même x, la premiere pour le tems -dt, la feconde pour le tems, la derniere pour le tems +d t; ainsi (Fig. 5.) faisant 'A P = x, PT=PT' PT PT'=t, Pp=Px=Tt=T@ =T't=T'0' dx, on aura ddy dx2 -Ro P p2 R' a' P p2 faisons maintenant (Fig. 6.) T=Tr=T'r'=T' & ' = dt, en fuppofant, ce qui eft permis, non plus dt d x, mais dt différent de dx, plus grand ou = plus petit à volonté; on aura d'où il eft aifé de voir que fi, ddy fi la loi de la courbure n'eft pas uniforme. Car , par exemple, la courbure faifoit des fauts en quelque point de l'arco RS! ( Fig. 7.), on ne pourroit re garder T R' W R' o' comme égale à T'8' ; cela eft affez clair par foi-même; car ce n'eft que dans un arc de courbure uniforme qu'on a R' o' R' ய Mais T'9'2 pour le démontrer fans réplique, foient menées les cordes o' R', p'. R' prolongées jufqu'en L & en Q, il eft clair que S' L = 2 R' w, & r' V= 2 R' o', puifque (hyp.) T'r' =T'', & T' 'T'8' L S' Vr' T 0- . T''; ainfi it fuffira de prouver que n'est point égal à fi la courbure n'eft pas uniforme dans l'arc o' R'S'. Pour cela, fuppofons que le point r' foit celui où la courbure fait un faut; enforte que a' R' r', r'S' foient deux arcs de cercle contigus, infiniment petits, de différente courbure, & ayant une tangente commune en r'; foit tirée la tangente R' Z, & foit continué l'arc o' R'r'en 'S"; foit le rayon de l'arc o' R' r' S";. on aura 1o: =S" L + S' S", & que S'S" eft du même ordre d'infiniment petit que SL, il s'enfuit que S' L T8/2 T 02 §. XI. Ne nous en tenons pas aux preuves de calcul, & joignons-y des preuves d'un autre genre, plus frappantes pour tous les Lecteurs. Voici la véritable raifon métaphysique, fi je ne me trompe, pourquoi le mouvement de la corde ne peut être foumis à aucun calcul' analytique, ni représenté par aucune conftruction, quand la courbure fait un faut en quelque point M (Fig. 2. ). C'est que dans ce cas il y a proprement au point M deux rayons ofculateurs différens, quoique coincidens quant à la direction, dont l'un appartient à la portion de courbe M N, l'autre à la portion de courbe M A. Or la force accélératrice en chaque point de la corde étant en raison inverse du rayon ofculateur, lequel des deux rayons communs au point M doit fervir à déterminer la force en ce point M? C'eft ce qu'il est impossible de fixer, & il l'eft par conféquent auffi de réfoudre le Problême dans ce cas-là. En effet fuppofons que la figure initiale de la corde foit compofée de deux différentes courbes ainfi réunies en M; je demande à M. Euler quelle eft la force accélératrice du point M, lorfque la corde commence à fe mouvoir? Voilà donc la raifon métaphysique qui rend fautive la folution de M, Euler, lorfque la courbure de la courbe fait quelques fauts. Voici maintenant pourquoi cette folution eft fautive, lorsque la courbure n'eft pas nulle, foit en A, foit en B. Soit AB (Fig. 8.) l'axe de la corde, A M B la |