de 2, en fuppofant celui de 1 0. - M. Leibnitz ajoute, p. 288, un raifonnement Métaphysique, auquel je ne répondrai pas, & que je me contenterai de rapporter, faute de l'avoir pû bien comprendre. L'élévation des nombres à un expofant, dit-il, répond à la multiplication dans les Logarithmes ; no répond à e × Log. n. La multiplication dans les nombres répond à l'addition dans les Logarithmes; n× K répond à Log, n + Log. K. La simple position dans les nombres répond à la fimple position des Logarithmes; z répond à Log, n. Au contraire, continue toujours M. Leibnitz, l'extraction des racines dans les nombres répond à la division dans les Logarithmes; yn répond à Log. n. La divifion ré n K 72 pond à la fouftraction; répond à Log. n – Log. KMais à quoi répondra n? M. Leibnitz prétend qu'on ne fauroit trouver d'expreffion réelle qui y réponde, parce que defcendant de l'extraction des racines à la division & à la fouftraction, on ne fauroit, dit-il, rien trouver d'inférieur à la fouftraction. Dans une matiere toute de calcul comme celle-ci, on doit, ce me femble, fe défier beaucoup d'un raifonnement fi abftrait & fi vague. Il peut fervir d'exemple, entre plufieurs autres, de l'abus qu'il eft aifé de faire de la Métaphyfique dans la Géométrie. D'ailleurs, pourquoi ne diroit-on pas qu'après avoir defcendu jufqu'à la fouftraction, on revient enfuite fur fes pas, pour retomber dans les Logarithmes pofitifs? Vi V. On voit auffi par le Commercium Epiftolicum de nos deux grands Géometres, qu'ils avoient examiné l'équation y = c; mais fans que M. Bernoulli en ait tiré, comme je l'ai fait, les doubles valeurs de y, dans le cas n 2 m ой х ni qu'il ait obfervé, du moins d'une façon nette & précise, que la quantité e avoit deux valeurs dans cette équation. Au refte, il semble que Mrs Leibnitz & Bernoulli ont fini par se rapprocher un peu l'un de l'autre, du moins à quelques égards. Ils paroiffent convenir, pag. 312 & 315, qu'il ne peut y avoir de difpute fur cette matiere, que dans la maniere de parler. Ils fe feroient, ce me semble, expliqués plus clairement, en convenant que tout fyftême de Logarithmes eft arbitraire; c'est pour cette raison que les Logarithmes des quantités négatives peuvent être, ou réels, ou imaginaires, felon le fyftême des Logarithmes que l'on choisit. Fin du Sixiéme Mémoire. Opufc. Math. Tome I. Dd SUPPLÉMENT Au Mémoire précédent, fur les Logarithmes des quantités négatives. CE I. E Mémoire étoit fini depuis plufieurs années, & je ne penfois pas même à le mettre au jour, lorfque j'ai trouvé dans le premier Volume des Mémoires de la Société des Sciences de Turin (dont j'ai déja parlé dans le Supplément au Mémoire fur les cordes vibrantes), un favant Ecrit fur les quantités imaginaires, où la question précédente eft traitée. Cet écrit m'a fait naître de nouvelles réfléxions, qui m'ont paru mériter d'être foumises au jugement des Géometres. L'Auteur de l'Ecrit dont il s'agit (M. le Chevalier Daviet de Foncenex) adopte le fentiment de M. Euler, & tâche de le fortifier par de nouvelles preuves. Il a bien fenti la force de l'objection tirée de l'aire de l'hyperbole équilatere, & il a effayé d'y répondre. Il convient que les ordonnées des deux branches oppofées de l'hyperbole équilatere, font unies par le lien de la continuité; mais les aires, felon lui, ne le font pas ; la raifon qu'il apporte de cette différence, c'eft, dit-il, qu'en faisant l'abscisse x infiniment petite & pofitive dans l'hy perbole équilatere rapportée aux afymptotes, l'ordonnée correfpondante devient infinie pofitive, & qu'en faisant x infiniment petite & négative, l'ordonnée correfpondante devient infinie négative, ce qui eft conforme aux principes de la Géométrie des courbes, fuivant lefquels une quantité quelconque ne peut devenir de pofitive négative, fans paffer par zéro ou par l'infini ; au lieu qu'il n'en eft pas de même de l'aire de l'hyperbole, qui devient pofitive & finie, felon M. le Chevalier de Foncenex, lorsque x eft pofitive & infiniment petite, & au contraire négative & finie, lorfque x eft négative & infiniment petite. En effet, dit toujours ce favant Géometre, lorsque x eft infiniment petite & positive, l'aire devient =m, qui eft une quantité finie pofitive, md x d x & lorsque x eft infiniment petite négative, cette aire devient -m. Ainfi, continue-t-il, l'aire de l'hyperbole ne peut franchir le paffage du pofitif au négatif, fans recevoir tout-à-coup un décroiffement fini, au lieu qu'elle devroit paffer, fuivant la loi commune & nécessaire, par le zéro ou par l'infini. Donc, conclut M. de Foncenex, il n'y a point de passage Algébrique des aires positives dans l'hyperbole équilatere aux aires négatives. A cela je réponds; 1o°. que lorfque x eft positive & infiniment petite, il n'eft nullement démontré, du moins par le raisonnement qu'employe M. le Chevalier de Foncenex, que l'aire de l'ayperbole foit finie &=m; car ne représente alors qu'une partie de la quantité md x d x cette aire, savoir, le parallélogramme qui a pour hauteur m xou dx, & pour base on m dx; or il fera aifé de voir, pour peu qu'on y faffe d'attention, que l'aire de l'hyperbole eft même beaucoup plus grande que la fuite des parallelogrammes m, m 2 4 &c. laquelle eft =2 m. Je ne prétends point au refte décider ici, fi l'aire hyperbolique, qui répond à x infiniment petite & positive, eft finie ou infinie; mais je crois feulement avoir bien prouvé par le raifonnement précédent, que celui de M. Foncenex eft infuffifant pour s'en affurer. 2°. J'accorde à M. de Foncenex, que la valeur de l'aire qui répond à x positive & infiniment petite, foit finie & positive; & je dis qu'elle est encore finie, mais toujours positive (& non pas négative, comme le prétend M. de Foncenex), lorsque x eft infiniment petite négative; carx étant alors négative aussi-bien que dx, on a pour l'aire dont il =m; cette aire en effet n'eft autre s'agit md x dx chofe, fuivant le calcul de M. de Foncenex, que celle du parallelogramme qui a pour hauteur x, & pour bafe le devient auffi, & m ; or x devenant négative, m x l'aire redevient pofitive. M. de Foncenex femble en convenir lui-même, au moins implicitement, dans une des notes de fon Mémoire, où il remarque fort bien, que fi on prend (fig 36.) A N=1, & par conféquent l'origine des aires hyperboliques en N, les aires NP RS AN: |