5. (5 — 1 ) qu'un nombre 2, ; mais s'enfuit-il que l'équa tion qui donne les valeurs de la fomme de ces racines prises deux à deux, fera précisément du degré (1 — 5) 's 2 ? Ne feroit-il pas poffible que l'équation eût plufieurs racines égales, ou bien que parmi les combinaisons des racines prifes deux à deux, il y en eût qui donnaffent des fommes égales? Dans le premier cas l'équation pourroit fans avoir être d'un degré plus grand que S. (s. !) 2 cependant réellement un nombre de racines plus grand 5. (5 — 1) dans le fecond cas, l'équation pour que 2 ; roit être d'un degré plus petit que 2 1) & ren fermer cependant toutes les fommes des racines prises deux à deux. Il falloit donc démontrer, & ne pas fe contenter de le fuppofer, que l'équation dont il s'agit, est s-1). Cela eft d'autant plus néceffaire, du degré que 2 fe bornoit à la confidération des racines d'une fi on équation, pour déterminer le degré dont elle doit être, on feroit fouvent exposé à tomber dans l'erreur. Soit, par exemple, l'équation du quatriéme degré x++ a x2 +6x+c=0, dont le fecond terme eft évanoui, & dont les racines font fuppofées imaginaires; il eft certain que ces racines pourront être représentées par les quatre quantités A+BV-1,A-B√— 1, − A+ CV — 1, - 1 - A—CV— ; de forte que fi on fuppofe p+qV — I pour l'expreffion générale de la racine, il femble que l'équation en p doive avoir quatre racines tout au plus, favoir deux égales & pofitives + A, & deux égales & négatives A. Ainfi l'équation en p femble naturellement devoir être du quatrieme degré. Cependant fi on fubftitue dans l'équation x++ a x2+ bx+c, la quantité p + q Và la place de x, & qu'on en faffe deux 9 équations féparées, dans l'une defquelles foient les quantités réelles, & dans l'autre les quantités imaginaires, on parviendra à une équation en p qui fera du fixiéme degré. Je fais bien qu'on peut expliquer ce paradoxe, en difant que la fuppofition qu'on a faite de x=p + q V — 1, n'emporte point la conféquence néceffaire que p & q foient réels: par exemple, fix étoit égale à A+B v. P pourroit être égale à A ou à B√ — 1, &q= B, ou -AV1; de forte que les valeurs de p & de 9 peuvent être renfermées dans une équation qui ait plus de racines qu'on ne lui en croiroit d'abord, quelquesunes de ces racines étant imaginaires. Mais en ce cas, je demande pourquoi il n'arrive pas la même chofe dans les équations du fecond degré; car fi on a x x+ax +b=0, x ayant fes valeurs imaginaires, & qu'on faffe x=p+qv=1, on trouvera par une méthode fembla +b; a p = − V = b, q que 9 2 VET? Les exem ples & les raifonnemens précédens fuffifent pour prouver dans cette matiere , on ne doit point admettre fans démonftration toute conféquence, du nombre des racines d'une équation, au degré dont cette équation doit être. Je ne prétends pas pour cela que la proposition fuppofée par M. de Foncenex, foit fauffe; je fuis même très-porté à la croire vraie; mais il me femble qu'elle a befoin d'être démontrée. Fin du fixiéme Mémoire & du Supplément. 231 SEPTIEME MÉMOIRE. Supplément aux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Pruffe de 1746 & 1748. DANS ANS Ces Mémoires j'ai donné la méthode de réduire à la rectification des Sections coniques, & à la quadrature des courbes du troifiéme genre, un grand nombre de différentielles affez compliquées. Je vais dans cet Ecrit faire l'application de ces méthodes à la quadrature de la furface des cônes obliques; matiere qu'un Géometre très-célébre a déja traitée dans les Nouv. Mém. de Petersb. To. I, mais en réduifant la quadrature de cette furface à la rectification d'une ligne du fixiéme ordre. Avant que d'entrer dans ce détail, je donnerai ici quelques remarques fur les différentielles qui se rapportent à la rectification des Sections coniques, pour fimplifier à quelques égards certaines formules de mon Mémoire de 1746. Je remarquerai donc d'abord que la différentielle d v; dépend de la rectification de l'hyperbole feule; car cette différentielle ( voyez les Mémoires de Berlin de 1746, p. 208 & 209), fe change (en faifant z+Vzz+bby) en d y Vy + V2. Vy y—bb V z. y Vy • Vy y — b b dont la premiere dépend de la feconde, & dont la feconde dépend de la rectification. de l'hyperbole seule. De-là & des autres formules du même Mémoire, il tités de figne quelconque, pourvû qu'elles ne foient pas toutes deux négatives, dépendent de la rectification de l'hyperbole feule; 2°. que par conféquent z+±2 + P 2 2 2 fd z x (B+ Aix) ,p & fexprimant des nombres entiers quelconques, dépend auffi de cette seule rectification; car on a fait voir dans le Mémoire cité, que cette d. Il en eft de même, différentielle dépend de d.z VAZ? + B z VAzz + B dz A l'égard de cette différentielle V z · √ z z + b b dépend de la rectification de l'ellipse & de l'hyperbole; & par conféquent aussi , Vzz+bb quoi je renvoye au Mémoire déja cité. |