2. On fera dz=1 degré ou 2 degrés, felon qu'on en aura befoin; & on exprimera den parties du rayon,

3. On ajoutera enfemble toutes les ordonnées λ x μxi avec leurs fignes, à l'exception des deux extrêmes dont on ne prendra que la moitié; & on multipliera cette fomme par la valeur de dz.

que

4. Si on craint que cette approximation ne foit pas affez exacte, parce qu'on n'y confidere la courbe que comme un polygone, & l'aire cherchée que comme une fuite de trapêfes; en ce cas on fe fervira des formules M. Cottes a données à la fin de fon Harmonia Men furarum. Suivant ces formules, fi on prend trois ordonnées de fuite, à égale distance, & que A foit la fomme de la premiere & de la troifiéme, B la feconde, & R la distance entre les deux ordonnées extrêmes, c'est-à-dire, entre la premiere & la troisiéme ; on aura pour l'aire com

prife entre les trois ordonnées,

R, ou (pre

A+ 4 B

6

R

nant

pour la diftance entre deux ordonnées

2

A+ 4 B

3

A+ 4 B
3

dz.

voifines)

5. Dans les endroits où on craindra que cette approximation ne foit pas encore affez éxacte, on prendra les ordonnées de demi degré en demi degré, ou de 10 minu tes en 10 minutes ; & on fera le même calcul.

Ou bien on pourra fe fervir des formules qui fe trou

vent à la fin de lOuvrage de M. Cottes, & qui donnent la valeur approchée de l'aire d'une courbe, dont on connoît tant d'ordonnées qu'on voudra.

-6. Par-là on aura, auffi éxactement qu'on le pourra defirer, les différentes parties de l'aire d'une courbe méchanique propofée quelconque, lorfqu'on connoît àpeu-près la valeur numérique & le figne de chaque ordonnée, répondante à chaque abscisse z de degré en degré.

7. Si cette méthode de procéder par les quadratures paroiffoit encore trop longue, parce qu'elle demande qu'on calcule un grand nombre d'ordonnées; on pourroit l'abréger en fe fervant, comme le pratiquent les Géometres dans des cas femblables, de la méthode des courbes paraboliques, imaginée par M. Newton, & perfectionnée depuis par MM. Cottes, Stirling & d'autres. 'Auteurs. Mais au lieu d'employer ici, comme l'ont fait d'autres Géometres, les arcs & leurs puiffances, pour en former l'ordonnée de la courbe parabolique; il eft, ce me femble, plus naturel & plus fimple d'employer les finus & les cof. de z; 1o. plus naturel, parce que les forces perturbatrices dépendent de finus & de cofinus d'angles, & non pas d'angles mêmes, & qu'ainsi il eft plus convenable de faire entrer des cofinus ou des finus que des arcs, dans l'expreffion de la quantité qui doit fervir à repréfenter ces forces; 2°. plus fimple, parce que les intégrations feront plus faciles en employant les fin. & cof. z, que les arcs z. C'est pourOpufc. Math. Tome II.

X

quoi on prendra pour l'ordonnée de la courbe de genre parabolique A+B fin. z+C fin. z cof. z+D fin. ¿ cof.z+&c. Et multipliant cette quantité par dz, on aura l'intégrale, à laquelle on appliquera enfuite la méthode des courbes paraboliques.

8. Au lieu d'employer la formule A+B fin. z+C fin. z cof. z + D fin. z cof. z2 &c. on pourra encore employer celle-ci, qui fera même plus commode pour le calcul, B fin. z+Ccof. z+D fin. 2 z+E col. 2 z+&c. Si l'on vouloit néanmoins faire entrer les arcs de cercle dans la courbe parabolique au lieu des finus & des cofinus, on le pourroit abfolument. Mais voici deux moyens de rendre alors le calcul plus éxact. 1o. Au lieu de faire commencer les au commencement de la premiere révolution, on les fera commencer au point où l'on commence à employer la courbe parabolique; de maniere que fi dans ce point z=A', on prendra les ordonnées de la courbe A + B (z — A') + C ( z − A' )2 + D ( z — A′ )3 ̧ &c. 2°. Au lieu de repréfenter les ordonnées par des puiffances de z-A', on

pourra les repréfenter par des puiffances de e

cette forte, Ac

༢-4

+Bc

(22-2A1)

+Dc
pour

, en ( 3 2 − 3 A');

&c. ce qui fera encore plus commode le calcul

parce que c

nz-nA'

est en général le nombre dont le Logarithme eft zz-n A', & que l'on a des tables toutes faites de ces nombres.

19. Les Géometres n'avoient jusqu'à préfent imaginé

que

rien de plus fimple pour la quadrature des courbes ir régulieres, que les courbes de genre parabolique. Il me femble les courbes dont je viens de parler, & qu'on peut appeller courbes de genre exponentiel, feroient du moins auffi commodes, & peut-être même plus éxactes dans certaines occafions.

11. Voilà tous les préliminaires néceffaires pour cal culer dans les différens cas poffibles les perturbations. caufées à l'orbite des Comètes par l'action des Planètes. Nous allons maintenant appliquer ces différentes opérations au calcul d'une Comète particuliere. Celle de 1682 ayant déja été calculée par M. Clairaut, fuivant une méthode différente de la nôtre, nous en choisirons une autre, à laquelle nous appliquerons notre méthode, en prefcrivant pied à pied aux calculateurs tout ce qu'il faut faire pour arriver à ce but.

X X X V I.

1. Nous prendrons pour exemple la Comète de 1532, qui paroît être la même que celle de 1661, & dont la période est d'environ 129 ans. La distance périhélie de cette Comète en 1532 ayant été de 50910 parties, dont le rayon du grand orbe en contient 100000, & en 1661 ayant été de 44851, il eft clair que cette Comète eft du nombre de celles dont la diftance périhélie differe peu de la moitié du rayon du grand orbe, ou même eft moindre; & qu'ainfi on peut y appliquer les abrégés de calcul relatifs à cette hypothèse. De plus l'inclinaifon de

cette Comète au plan de l'Ecliptique n'étant que de 32 degrés, fa distance périhélie fera environ 8 à 9 fois moindre que la distance moyenne de Jupiter; ainsi on peut encore y appliquer les abrégés de calcul dont on a donné la méthode aux §. XXII, XXIII, & fuivans.

2. Voici donc maintenant la suite des opérations qu'il faut faire pour connoître les altérations de cette Comète en vertu de l'action de Jupiter & de Saturne, ou, ca qui eft la même chose, la différence de deux révolu

tions fucceffives.

3. On cherchera dans les tables des Comètes la diftance périhélie a en 1532, qui fera exprimée en parties, dont le rayon de la terre en contient 100000 ; & l'on aura

4.

a=0,50910

Comme les obfervations de 1532 sont peu éxactes, & qu'en 1661, on a eu a=44851, on pourroit supposer

a=0,45000.

5. On cherchera le tems du passage de la Comète de 532 au périhélie, qu'on trouvera le 19 Octobre à 22' & celui de la Comète de 1661, qu'on trouvera le 26 Janvier N. S.. à 23*.

Ce qui fait pour la révolution totale

m=129TM 89j*** (a.).

6. On fera enfuite: comme l'année commune de 365. '. 5 *. 49′ élevée à la puissance est à m÷; ainsi 100000

(a) Ce devroit être 129 ans 99 jours ; mais il faut en ôter les 10 jours retranchés en 1581 dans le Calendrier Grégorien.