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pour déterminer le rapport des probabilités dans le cas où l'on joue à croix ou pile en deux coups. On convient d'abord ( voyez l'Encyclopédie au mot G AGEURE) que les trois coups

- Croix

Pile Croix

Pile Pile sont à la vérité les seuls possibles'; mais on prétend qu'ils. nie le sont pas également ; car, dit-on, la probabilité

d'amener croix au premier coup est égale à celle d'amew ner pile au premier coup. Or la probabilité d'amener spile au premier coup, est double de celle d'amener pile. w au premier coup & croix au second, ou pile au preo, mier coup & pile au second. Donc &c. c.

Pour développer en quoi consiste , selon moi, le vice de ce raisonnement, j'emprunterai le langage des Logiciens; & je dirai que dans cet argument le moyen terme n'est pas le même dans les deux Propositions. Car le moyen terme dans la premiere Proposition, est la probabilité d'amener pile au premier coup, avant d'avoir joué ce premier coup. Dans la seconde Proposition, le moyen terme est la probabilité d'amener pile au premier coup, comparée à la probabilité d'amener croix ou pile au second coup. Or cette derniere probabilité (celle d'amener croix: ou pile au fecond coup) suppose que le premier coup est joué, & qu'il a donné pile; ainsi cette derniere probabilité suppose que la premiere probabilité (celte d’amener pile au premier coup) n'eft plus une probabilité,

mais une certitude. Le moyen terme est donc réellement différent dans les deux Propositions. En un mot il y a cette différence entre le coup croix & le coup pile', ariivant l'un ou l'autre au premier coup, que le coup croix n'amene point de second coup, au lieu que le coup pile en amene nécessairement un autre; ainfi il ne faut point comparer d'abord la probabilité de croix au premier coup, avec celle de pile au même premier coup, & enfuite la probabilité de pile au premier coup, avec la probabilité de croix ou pile au second coup; mais la probabilité de croix au premier coup, avec celle de pile & croix au premier & second coup, ou de pile & pile aux mêmes premier & second coups, i i d : ..T i . XX I V. ;;';.,..

, Je ne voudrois pas cependant regarder en toute ri! gueur les trois coups dont il s'agit , comme également possibles. Car 1o. il pourroit se faire en effet (& je suis même porté à le croire ), que le cas pile croix ne fût pas exactement aussi possible que le cas croix feutz mais le rapport des possibilités me paroît inapprétiable. 2o. It pourroit se faire encore que le coup pilé croix fût unk peu plus poffible que pile pile, par cette feule raison que dans le dernier le même effet arrive deux fois de suite ; niais le rapport des possibilités ( fuppofé qu'elles foient inégales ), n'est pas plus facile à établir dans ce fecond cas, que dans le premier. Ainsi il pourroit trèsbien se faire que dans le cas proposé, le rapport des probabilités ne fût ni de 3 ài, ni de 2 à Tricomme nous

l'avons supposé dans l'Encyclopédie) mais un incommensurable ou inappréciable, moyen entre ces deux nom. bres. Je crois cependant que cet incommensurable approchera plus de 2. que de 3 , parce qu'encore une fois il n'y a que trois cas possibles, & non pas quatre. Je crois de même & par les mêmes raisons, que dans le cas où l'on joueroit en trois coups, le rapport de 3 à 1, que donne ma méthode, est plus près du vrai, que le rapport de 7 à hy donné par la méthode ordinaire, & qui me paroît exorbitant. '!,!.

.'. Pour bien fixer l'état de la question, tenons-nous en au cas où l'on joue en deux coups. Il est d'abord certain que la probabilité d'amener croix au premier coup, est égale à celle d'amener pilé au même premier coup; la difficulté fe réduit à favoir; 19. quel est le rapport de la probabilité d'amener pile au premier coup, à la proa, babilité d'amener croix aụ second coup, quand on aura amené pile au premier, & que par conséquent il devra y avoir un fecond coup: 2°; si la probabilité d'ameneç pile au second coup, quand on aura amené pile au pred mier coup, eft égale ou un peu plus petite que celle d'amener croix au second coup, quand on aura amené pile au premier ; & fi ces probabilités ne font pas égales; quel en est le rapport? K? .... . . 9":"? tasj 9X X Vice:: I

Lorsqu'on joue en plus de deux ou trois coups , alors le rapport des possibilités ou probabilités devient encore

infiniment plus difficile à déterminer. Il est évident en effet que si on joue en quatre coups , par exemple, il eft plus probable qu'on amènera croix au preinier coup, que pile, pile, pile , pile en quatre coups confécutifs. Or le rapport de ces possibilités est encore'felon mois inapprétiable , quoique cès possibilités soient réellement différentes. Je dis plus: il peut se faire que pile , pile, pile, croix, soient plus possibles (8. XV.)que pile 4 fois de fuite : or comment comparer ces probabilités ? Comment affi, gner leur rapport? IME

X XV I. C'est par cette considération de la différente' poffibilité des cas (lorsque le nombre des jets est 'tant foit peu considérable ) que je vais répondre à une objection qui m'a été faite , & qu'on peut voir dans l'Art. GAGEURE de l'Encyclopédie. Il s'ensuivroit, dit-on, une absurdité de ma nianiere de compter les probabilités ; favoir, qu'on ne pourroit jamais parier avec avantage, d'amener une des faces A, d'un dez à trois faces A, B, C, en tant de coups qu'on voudroit. Car foit 12 ce nombre de coups, on trouveroit toujours que la probabilité eft de 2" - I contre 2*13

igheden: Par exemple, fi n=3; on trouvera que les combinaisons favorables' font A, BA, CA, BBA, BC-A, CCA, CB A; & que des combinaisons défavorables font B B B, BBC,BCB,BCC, CBB, CBC,CCC,CCB; ée qui donne le rapport de 7 à 8'; ou de 232 1 à 2. r. Cette obje&tion suppose que tous les cas sont égale ment poslibles dans l'énumération faite à ma maniere; or ils ne le sont pas; car A au premier coup est plus possible , par exemple ; que B quatre fois de suite. Il est vrai que je crois difficile d'en alligner le rapport , & que la théorie ordinaire des Analystes sur cet objet me paroît peu satisfaisante; mais il suffit , pour répondre à l'obje&tion , que tous les cas ne foient pas également possibles....

X X V II. . . .: Concluons de toutes ces réfléxions; 1o. que si la régle que j'ai donnée dans lEncyclopédie (faute d'en connoître une meilleure) pour déterminer le rapport des probabilités au jeu de croix & pile, n'est point exacte à la rigueur, la régle ordinaire pour déterminer ce rapport, l'est encore moins ; 2°. que pour parvenir à une théorie satisfaisante du calcul des probabilités, il faudroit résoudre plusieurs Problêmes qui font peut-être insolubles ; savoir, d'asligner le vrai rapport des probabilités dans les cas qui ne sont pas également possibles, ou qui peuvent n'être pas regardés comme tels; de déterminer quand la probabilité doit être regardée comme nulle; de-fixer enfin comment on doit estimer l'espérance ou l'enjeu , felon que la probabilité est plus ou moins grande. : jhvitX XVIII. '

' Je ne parle point ici des considérations relatives à l'état

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