6°. Un autre avantage de ma méthode, c'eft de faire toujours marcher lesz d'un même côté, dans le fens du mouvement de la Comète: ce qui rend le calcul plus fimple, & moins fujet aux méprifes que pourroit occafionner la marche des z en différens fens. Ceux qui ont employé cette marche alternative des zen fens contraires dans la recherche des perturbations des Comètes, s'y font crus obligés par une autre fuppofition qu'ils avoient faite, & qui consiste à employer dans leurs calculs l'anomalie excentrique, au lieu de l'anomalie vraie. Pour nous, nous avons cru pouvoir nous en tenir fans danger à l'anomalie vraie, fans y fubftituer l'anomalie excentrique, & cela pour plusieurs raisons. La premiere, parce que dans la partie inférieure de l'orbite (dans celle qui eft la plus proche du Soleil); les rayons yecteurs exprimés par les anomalies vraies, ont un accroiffement moins rapide par rapport à ces anomalies, & par conféquent varient moins que par rapport aux anomalies excentriques (a). La feconde, parce que dans la partie qui s'étend depuis le périhélie jufqu'à 90 degrés de part & d'autre, l'orbite de la Comète pouvant être prise pour une Parabole, la confidération des rayons vec

(a) En effet quand le rayon vecteur eft devenu, par exemple, le double de la distance périhélie, l'anomalie vraie est déja d'environ 90 dẹgrés, au lieu que l'anomalie excentrique n'est encore que d'un affez petit nombre de degrés ; par exemple, de 14 environ, dans la Comère de 1682.. Les rayons vecteurs varient donc moins dans la partie inférieure de l'orbite, par rapport à l'anomalie vraie, que par rapport à l'anomalie excentrique.

teurs exprimés par les anomalies vraies, rend les intégrations beaucoup plus faciles & les calculs moins pénibles fans comparaifon (§. XXI. & XXII.), que par les anomalies excentriques, dont la confidération fuppofe qu'on regarde l'orbite de la Comète comme une ellipfe. La troifiéme, c'eft que dans la partie fupérieure de l'orbite, dans celle qui eft la plus éloignée du Soleil, & où les rayons vecteurs croiffent affez rapidement, ces rayons n'apportent aucun inconvénient aux calculs, foit parce qu'une grande portion de cette partie fupérieure eft fenfiblement elliptique ( §. XV. n. 3.) & ne demande aucun calcul; foit parce que la confidération du Satellite fait difparoître en grande partie (§. XVI. n°. 3. } le rayon vecteur x des calculs qu'on eft obligé de faire. Enfin la quatriéme raifon, c'eft que la confidération des anomalies excentriques introduiroit dans une partie de la quantité M (s. IX. n. 3. ) les rayons vecteurs qui répondent à ces anomalies, & que ces rayons vecteurs fe trouvant placés au dénominateur, & décroiffant prodigieufement par rapport aux derniers degrés d'anomalie excentrique, produifent des fauts confidérables dans la quantité M; ce qui peut occafionner des erreurs affez fortes dans les quantités dérivées de celle-là.

7°. Quoique dans ma folution on paffe plufieurs fois de l'orbite de la Comète à celle du Satellite fictif dans l'espace abfolu, & de celle-ci à celle de la Comète ; ces paffages n'empêchent point le calcul d'être uniforme & simple dans fa marche. On n'a pas befoin, par exemple,

quand on paffe de l'orbite de la Comète à celle du Sa tellite (ce qui arrive au point de la fig. 13. ou SC= la distance moyenne de Jupiter); on n'a pas befoin, disje, de chercher par un calcul particulier, l'altération que l'action précédente des Planètes perturbatrices dans la. partie 4C, doit produire dans la partie fubfequente C Dc de l'orbite de la Comète, c'eft-à-dire, dans celle à laquelle on fubftitue l'orbite ydy' (fig. 14.), que le Satel lite fictify décrit dans l'efpace abfolu. On n'a pas befoin... non plus, en considérant cette derniere orbite yay', de. chercher l'altération que l'action précédente des Planètes, perturbatrices fur la Comète dans la partie AC, a dû. produire dans la viteffe & dans la direction initiale du Satellite. Voici la preuve de ces deux propofitions.

2. Ne confidérons, pour abréger, dans la quantité qui exprime l'altération du tems périodique (§. XIX.n. 10.), que le terme /dPSXdz fin. z, ou(en faisant X fin. z=X'); SdPƒX' dz=PƒX'dz —ƒP X' dz; on fera fur cha cun des autres termes le même raifonnement que nous... allons faire. Lorsque la Comète eft arrivée au point, C, où l'on paffe de fon orbite à celle du Satellite, soit z=3, ☛ ƒX' , la valeur de P, a celle de X' dz, & C celle. de SP X' dz, répondantes à z=; il est évident que la viteffe & la direction que la Comète auroit cûe au point C, fans perturbation, ont fouffert par l'action précédente des Planètes perturbatrices, une altération telle, que fi cette action ceffoit en ce moment, l'altération du tems dans la fuite de la période feroit P &— 6..

3. Or comme l'orbite du Satellite dans l'efpace abfolu, & celle de la Comète different très-peu entr'elles, & font très-proches l'une de l'autre ; il eft aisé de voir que l'altération Pa- - 6, qui vient uniquement de l'action. précédente des Planètes perturbatrices, feroit fenfiblement la même dans l'orbite y ay' du Satellite & dans. celle de la Comète. Soit P = @ + p › P étant =olorf què z=S,& ≈ une conftante, qui eft la valeur de P quand z=G:& l'altération dont on vient de parler fera. (+p) as - 6.

2.

4. Préfentement soit zu, u étant: =olorfque z=, c'est-à-dire, au point y, où l'on commence à confidérer l'orbite du Satellite; & il eft évident que l'altération du tems dans cette orbite, provenant de l'action des Planètes perturbatrices fur le Satellite dans la partie. d'orbite yo y', fera fdpft du, en nommant & les dif férentes valeurs de X' dans cette portion d'orbite ; à quoi. il faut ajouter l'altération déja trouvée (+p.) a ~ 6.9. pour avoir l'altération totale.(+p.) ∞−6+ƒd pƒ¿ du =(a+p) a ~6+pƒ{du-sp&du. Or il eft facile de. prouver que cette quantité eft la même chofe que P/X'dz —ƒP X'd z; car PƒX' dz-SP X' d z = (o+p.); (a+SEdu) — 6-10 + 6-fo p... Edu= @+p. & du = (@+p.) a + Bƒ§ du+ƒ Edu-ƒœEdu-C-Sp { du = ( @+ p ) a + p S Ed u — C —/pdu, à caufe que a étant conf tante, of du før du = o. Donc &c.

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5. Un favant Géòmetre a donné dans fa Théorie des Comètes, une méthode ingénieufe pour abréger le calcul

de la perturbation qui vient de l'action des Planètes fur le Soleil. Cette méthode eft telle, que la perturbation étant une fois calculée pour une révolution, elle le fera pour une autre révolution quelconque. Mais 1°. la méthode fuppofe, comme ce Géometre le remarque, qu'on néglige l'excentricité & l'inclinaison de l'orbite de la Planète perturbatrice; ce qui ne peut être permis que dans certains cas. 2°. Dans la comparaifon de deux révolutions fucceffives, cette méthode qui abrege extrêmement, & qui réduit prefque à rien le calcul de la perturbation de la feconde révolution, double le calcul de la premiere (a); ainfi le calcul n'eft point réellement abrégé par cette méthode, lorfqu'on ne confidere que deux révolutions fucceffives. H eft vrai qu'il le fera beaucoup lorfqu'on calculera plus de deux révolutions; mais alors il faut non-feulement qu'on puiffe négliger fans crainte l'excentricité & l'inclinaifon de la Planète perturbatrice, il faut de plus que dans toutes les révolutions on suppose à la Comète la même orbite elliptique primitive, & indépendante des perturbations; ce qui pourroit n'être pas fans inconvénient dans certains cas, où les ellipfes primitives répondantes à chaque révolution, peuvent différer de plufieurs années.

6. Nous avons enseigné ci-dessus (§. XX. n. 16.) à

(a) La raison pour laquelle ce calcul est doublé, vient de ce qu'au lieu de cof. & fin. (§. IX.) on substitue col. A cos. 1 — fin. A fin, t & fin. A cof. t + col. A fin. t, A étant l'élongation au périhélie, & Y étant =A+t.