ployées pour parvenir à la même équation.

V.I.

1. A l'égard de l'intégration de cette équation, je ne fai pourquoi un très-favant Mathématicien l'a appellée une intégration délicate & neuve; car dès 1740 (fept ans avant qu'il fût question du Problême des trois Corps), M. Euler avoit donné dans fa Piéce fur le Flux & Reflux de la Mer, p. 301 & fuiv. une méthode pour intégrer les équations de cette forme d'du+Kudz2+Σdz2=0, K étant une conftante quelconque, & Σ une fonction quelconque de z. Cette méthode, que M. Euler explique affez au long, & que j'ai depuis dévelopée & un peu fimplifiée (ce qui étoit très-facile) dans l'art. 101 de la premiere Edition de mon Traité de Dynamique, imprimé. en 1743 (quatre ans avant aucune folution connue du Problême des trois Corps) eft analogue à celle dont M. Bernoulli s'eft fervi en 1697, pour intégrer les équations de cette forme du+Kudz + Σd z = o. Elle confifte à prendre u― au produit de deux indéterminées; on la peut voir mise en usage, p. 131 de la feconde Partie de mes Recherches fur le Systême du Monde, où elle est appliquée à l'intégration même de l'équation différentielle du Problême des trois Corps.

2. La méthode, par laquelle le favant Mathématicien déja cité a intégré cette équation, fe déduit aisément de cette méthode des indéterminées, qui eft même plus analytique; car la méthode des indéterminées fait trouver

directement la quantité cof, z, par laquelle le savant Mathématicien multiplie l'équation avant que de l'intégrer. Cette multiplication femble fuppofer qu'on connoissoit déja l'intégrale par une autre méthode plus directe, dont on a enfuite abrégé tant foit peu le calcul en multipliant les différentielles avant l'intégration, par les quantités que la méthode des indéterminées a fait

trouver.

3.

En effet, fuivant la méthode donnée en 1743, dans mon Traité de Dynamique, foit usq; on trouve s d d q + 2 d s d q + q dds + s q dz2 + Σ dz2 = 0; & faisant (comme je l'ai prescrit dans l'endroit cité) sddq+ sq dz2=o, on a q = cof. z, & 2d's dq+ qdds+Σdz2=o, ou d(qqds) + Σ q dz2 = o ; ou

+udz fin. z) + Σ q dz2 = o, ou d du cof.z +udz k

cof. z+Σdz2 cof.z Σαχ o; ce qui prouve qu'il faut mul tiplier l'équation par cof. z pour la rendre intégrable, & pour avoir l'intégrale du cof. z+udz fin. z+dz SZ dz cof. z=conft.

4. Au refte, foit que les Géometres, qui ont eu recours à cette préparation, l'ayent trouvée par la méthode des indéterminées ou autrement, il est au moins certain que M. Euler, & moi après lui, fommes les premiers qui ayons donné des méthodes pour l'intégration de ces fortes d'équations, plusieurs années avant qu'on en pût prévoir l'usage par rapport au Problême des trois Corps,

Cela eft fi vrai, que M. Euler, dans fes Opufcules imprimées à Berlin en 1746, p. 260, cherchant la quantité P, qu'il faut ajouter à u dans l'hypothèse de la résistance

<

du milieu, trouve cette équation dd P+Pdz2 =

sdzi cg

qui eft précisément semblable à celle du Problême des trois Corps ; & il ajoute, quæ fi methodo alibi expofitâ integretur, dabit P

que

t

fin. t

cg

fsdt cof.t

col. t

cg

fs de fin. t; résultat qui eft précisément semblable à celui le favant Mathématicien déja cité a donné depuis, & qu'il regarde, on ne voit pas pourquoi, comme le caractere distinctif de fa solution, qui la rend, selon lui, fupérieure à toutes les autres.

2

Il est donc inconteftable; 1°. qu'on avoit long-tems avant 1747, des méthodes pour intégrer l'équation d d u + u d z2 + E d`z2; 2°. qu'on avoit la formule même qui exprime l'intégrale de cette équation ; & que ceux qui l'ont intégrée depuis, n'ont rien ajouté à cet égard à ce que les Géometres favoient.

VI I.

1. J'ai donné, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin de 1748 & 1750, une méthode générale pour intégrer des équations beaucoup plus compliquées que Féquation did u+udz3+Σdz2=o, & dont elle n'eft qu'un cas très fimple. Cette méthode, qui dans les Mémoires de Berlin de 1748, eft datée du 13 Avril 1747)

& qui par conféquent eft encore antérieure à toutes les folutions du Problême des trois Corps, eft celle dont je me fuis fervi la même année 1747, pour intégrer l'équation d du + u dz2+Σ dz2, relative au Problême des trois Corps.

2. Ce qui m'a déterminé à faire usage dans cette folution, des expofans imaginaires (dont j'aurois pû me paffer, puifque dès 1743 j'avois intégré de pareilles équations fans employer ces expofans); c'eft que l'ufage de ces expofans imaginaires difpenfe de fe fouvenir des formules des finus & des cofinus multipliés entr'eux, defquelles on a befoin dans la théorie des perturbations des Planètes. D'ailleurs la folution que j'ai employée, & où se trouvent ces expofans imaginaires, a l'avantage de pouvoir être appliquée à un grand nombre d'autres équations différentielles, plus compliquées que celle à laquelle fe réduit le Problême des trois Corps. Enfin les expofans imaginaires ne causent aucun inconvénient dans le résultat de la folution, puifque j'ai donné les moyens de faire difparoître ces expofans, fi on le juge à propos (a). En un mot, qu'on fe ferve des expofans imaginaires ou non, on parviendra toujours dans tous les cas à la même formule.

VIII.

1. Un des deux Mathématiciens qui ont donné dans

(a) Voyez là deffus mon Mémoire fur la Théorie des Comètes, §. V. I eft imprimé dans ce Volume.

le

le même tems que moi, la folution du Problême des trois Corps, regarde comme un avantage particulier à fa folution (& qui la rend, felon lui, préférable à la mienne & à celle de M. Euler), celui de donner l'intégrale de l'orbite fons une forme telle, qu'elle renferme deux parties; dont l'une eft l'équation de l'orbite non troublée, & l'autre exprime les dérangemens caufés à cette orbite par les forces perturbatrices. Comme cette affertion attaque ma solution, & tend à la déprimer, je me crois obligé d'y répondre.

J'obferve d'abord, que quand il s'agit de l'orbite des Comètes, où le terme u dz2 refte nécessairement fans coëfficient, l'intégrale contiendra nécessairement ces deux parties. Car les trois premiers termes de l'équation différentielle feront alors, comme je l'ai expreffément remarqué dans mon Mémoire de 1745, art. XVII. ( & comme je l'ai rappellé ci-deffus, s. IV & V I. de ma Théorie des Comètes) d du+ud z2 — Fd z2 = 0; or ces trois premiers termes font l'équation différentielle de l'orbite non troublée, & par conféquent l'intégrale contiendra néceffairement deux parties; dont l'une représentera l'équation de cette orbite non troublée; & l'autre, les dérangemens qui y font produits par l'action des forces perturbatrices.

2. La méthode du favant Mathématicien dont nous venons de parler, n'a donc encore à cet égard aucun avantage, & ne peut même en avoir, puifque la féparation de l'intégrale en deux parties, eft une fuite nécessaire Opufc. Math. Tome II.

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