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ployées pour parvenir à la même équation,

VI.

1. A l'égard de l'intégration de cette équation, je ne fai pourquoi un très-savant Mathématicien l'a appellée une intégration délicate & neuve ; car dès 1740 (sept ans avant qu'il fût question du Problême des trois Corps ), M. Euler avoit donné dans sa Piéce sur le Flux & Reflux de la Mer, p. 301 & suiv. une méthode pour intégrer les équations de cette forme d'du+Kudzi +£dz=0, K étant une constante quelconque , & £ une fonction quelconque de z. Cette méthode, que

M. Euler explique assez au long , & que j'ai depuis dévelopée & un peu fimplifiée (ce qui étoit très-facile) dans l'art. 101 de la

premiere Edition de mon Traité de Dynamique, imprimé en 1743 (quatre ans avant aucune solution connue du Problême des trois Corps ) est analogue à celle dont M. Bernoulli s'est fervi en 1697, pour intégrer les équations de cette forme du+ Kudz + Edr=o. Elle confiste à prendre u=au produit de deux indéterminées; on la peut voir mise en usage , p. 131 de la seconde Partie de mes Recherches sur le Systême du Monde , elle est appliquée à l'intégration même de l'équation différentielle du Problême des trois Corps.

2. La méthode, par laquelle le favant Mathématicien déja cité a intégré cette équation , se déduit aisément de cette méthode des indéterminées, qui est même plus analytique; car la méthode des indéterminées fait trouver

directement la quantité cof, 7, par laquelle le savane Mathématicien multiplie l'équation avant que de l'intégrer. Cette multiplication semble supposer qu'on connoisloit déja l'intégrale par une autre méthode plus directe, dont on a ensuite abrégé tant soit peu le calcul, en multipliant les différentielles avant l'intégration, par les quantités que la méthode des indéterminées a fait trouver.

3. En effet , suivant la méthode donnée en 1743 , dans mon Traité de Dynamique, soit u = sq; on trouve sddq+2 dsdq+qdds+s9d7% + Edy=0 & faisant (comme je l'ai prescrit dans l'endroit cité) s-d.dq+sqd7=0, on a q=cof. 2, & 2 d's: dq+ qdds+Edz=0, ou d1990s.)+&gd:7=0; ou mettant pour s sa valeur

col. zz du

=codeco to udz sın. 7)+ Eqdzo=0,01 d. ducof. z+udza col.z+Edz' col.z=0; ce qui prouve qu'il faut mula tiplier l'équation par cos. z pour la rendre intégrable, . & pour avoir l'intégrale du cos. z+udz sin.z+d2f2dd col. z=const.

4. Au reste, soit que les Géometres, qui ont eu recours à cette préparation, l'ayent trouvée par la méthode des indéterminées ou autrement, il est au moins certain que, M. Euler, & moi après lui, sommes les premiers qui ayons donné des méthodes pour l'intégration de ces, sortes d'équations, plusieurs années avant qu'on en pút, prévoir Pusage par rapport au Problême des trois Corps,

og

Cela eft li vrai, que M. Euler , dans ses Opuscules imprimées à Berlin en 1746, p. 260, cherchant la quantité P, qu'il faut ajouter à u dans l'hypothèse de la résistance du milieu , trouve cette équation dd P+P dz: - sdy, qui est précisément semblable à celle du Problême des trois Corps ; & il ajoute , quee fi methodo alibi exposita integretur, dabit P= fn. - fs de col.t- col. E..... Is d e fin. &; résultat qui est précisément semblable à celui que le favant Mathématicien déja cité a donné depuis , & qu'il regarde, on ne voit pas pourquoi , comme le caractere diftin&if de fa solution, qui la rend, selon lui, fupérieure à toutes les autres.

Il est donc incontestable; 1o. qu'on avoit long-tems avant 1747, des méthodes pour intégrer l'équation ddatud z+ &diz?; 2°. qu’on avoit la formule même qui exprime l'intégrale de cette équation ; & que ceux qui l'ont intégrée depuis, n'ont rien ajouté à cet égard à ce que les Géometres favoient.

VII. 1. J'ai donné, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin de 1748 & 1750, une méthode générale pour intégrer des équations beaucoup plus compliquées que l'équation ddu+ udzi + Edz=0,& dont elle n'est qu'un cas très simple. Cette méthode , qui dans les Mémoires de Berlin de 17482 est datée du 13 Avril 17477

& qui par conséquent est encore antérieure à toutes les solutions du Problême des trois Corps, est celle dont je me suis fervi la même année 1747, pour intégrer l'équation ddu+udz + Edz, relative au Problême des trois Corps.

2. Ce qui m'a déterminé à faire usage dans cette solution, des exposans imaginaires (dont j'aurois pû me passer, puisque dès 1743 j'avois intégré de pareilles équations fans employer ces exposans); c'est que l'usage de ces exposans imaginaires dispense de se souvenir des formules des sinus & des cosinus multipliés entr'eux , defquelles on a besoin dans la théorie des perturbations des Planètes. D'ailleurs la solution que j'ai employée , & où se trouvent ces exposans imaginaires, a l'avantage de pouvoir être appliquée à un grand nombre d'autres équations différentielles, plus compliquées que celle à las quelle se réduit le Problême des trois Corps. Enfin les expofans imaginaires ne causent aucun inconvénient dans le résultat de la solution, puisque j'ai donné les moyens de faire disparoître ces exposans, si on le juge à propos (a). En un mot, qu'on se serve des exposans imaginaires ou non, on parviendra toujours dans tous les cas à la même formule..

VIII. 1. Un des deux Mathématiciens qui ont donné dans

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le même tems que inoi, la solution du Problême des trois Corps , regarde coinme un avantage particulier à fa solution (& qui la rend, selon lui, préférable à la mienne & à celle de M. Euler), celui de donner l'intégrale de l'orbite fons une forme telle , qu'elle renferme deux parties ; dont l'une est l'équation de l'orbite non troublée , & l'autre exprime les dérangemens causés à cette orbite par les forces perturbatrices. Comme cette assertion attaque ma solution, & tend à la déprimer, je me crois obligé d'y répondre.

J'observe d'abord, que quand il s'agit de l'orbite des Comètes, où le terme u d zi reste nécessairement sans coëfficient, l'intégrale contiendra nécesairement ces deux parties. Car les trois premiers termes de l'équation diffés rentielle seront alors, comme je l'ai expressément remarqué dans mon Mémoire de 1745, art. XVII. (& comme je l'ai rappellé ci-dessus, s. IV & VI. de ma Théorie des Comètes) ddu+ udze - Fdz?=0; or ces trois premiers termes sont l'équation différentielle de l'orbite non troublée , & par conséquent l'intégrale contiendra néces Fairement deux parties; dont l'une représentera l'équation de cette orbite non troublée; & l'autre, les dérangemens qui y sont produits par l'action des forces perturs batrices.

2. La méthode du savant Mathématicien dont nous venons de parler, n'a donc encore à cet égard aucun avantage , & ne peut même en avoir , puisque la sépararion de l'intégrale en deux parties, est une suite nécessaire

Opufc. Math. Tome II.

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