de l'intégration dans le cas de l'orbite des Comètes, où le terme u dz2 ne fauroit avoir d'autre coëfficient que l'unité. Mais je vais plus loin, & je me propose de faire voir que dans le cas de l'orbite des Planètes, cette dif pofition de l'intégrale a plufieurs inconvéniens confidé rables.

I X..

1. Ces inconvéniens, que je vais détailler, viennent en général de ce que cet habile Géometre a laissé mal-à pro pos, dans le cas de l'orbite des Planètes, l'équation différentielle de l'orbite fous la forme d du+u dz2 +Σdz®

a. En conféquence l'équation intégrée contient un coefficient de cette forme Acof. z; or fi ce coefficient fe trouvoit dans la valeur du rayon vecteur, il en résulteroit dans la formule intégrale donnée par ce Géometre, des termes affectés d'arcs de cercle, qui rendroient la folution fautive. Pour éviter cet inconvénient, l'habile & adroit Analyste a recours à la méthode des indéterminées; il fuppofe le rayon de l'orbite égal à une formule dont les coëfficiens font inconnus, & dans la→ quelle il a foin que cof. z ne fe trouve pas ; enfuite il fubftitue cette valeur dans l'intégrale générale de l'équa→ tion de l'orbite, & il fait égal à zéro dans cette intégrale, le terme qui contiendroit cof.

心

2. On pourroit d'abord demander fur quel fondement ce Géometre donne à la valeur du rayon la forme qu'il choifit, & dans laquelle il n'y a d'indéterminés que les

coefficiens conftans. D'où fait-on que la valeur du rayon doit avoir cette forme? Ne pourroit-on pas croire qu'en donnant une autre forme à la valeur du rayon, toujours avec des coëfficiens indéterminés, fubftituant cette valeur dans l'intégrale générale, & comparant les termes d'une autre maniere, on parviendroit à un autre réfultat qui n'approcheroit pas moins du vrai que le premier, ou du moins qui pourroit paroître auffi légitime, puifque l'Analyfe n'offriroit aucune raifon de préférence? Et ce doute ne feroit-il pas d'autant plus fondé, qu'il ne s'agit point ici d'avoir la valeur du rayon de l'orbite éxactement, mais feulement à peu-près ?

3. D'où fait-on en particulier que la valeur du rayon ne doit point contenir cof. z? Il feroit d'autant plus naaurel de penfer le contraire, que léquation de l'orbite non troublée contient ce terme cof. z avec un coëfficient confidérable, & qu'il eft affez difficile de concevoir (fur-tout quand on fe contente de le fuppofer, & qu'on ne le tire pas directement de la folution même) comment ce terme fi confidérable peut difparoître toutà-coup par l'action de très-petites forces perturbatrices ?

4. La folution dont nous parlons, porte même à conferver les termes de cette forme; car un des grands avantages de cette folution (felon fon Auteur ) eft de renfermer d'une part l'équation de l'orbite non troublée, & de l'autre la perturbation; or il eft naturel de croire que la premiere fubftitution à faire dans la partie qui contient la perturbation, eft celle du rayon de l'orbite

primitive & non troublée, lequel rayon contient cof. dans fon expreffion.

5. Enfin puifque ce terme A cof. z, qu'on avoit exclu de la valeur du rayon, se retrouve après les fubftitutions dans l'intégrale, pourquoi vouloir l'en chaffer en faisant fon coëfficient égal à zéro? Quand même on accorderoit à l'Auteur de cette folution, qu'il a pù omettre ce terme dans la premiere valeur approchée qu'il a fuppofée au rayon de l'orbite, il n'en feroit pas plus en droit de le faire difparoître dans la valeur tirée de l'intégrale. Car la premiere valeur qu'il a fuppofée au rayon, n'eft qu'une valeur approchée; il peut donc fe trouver dans la feconde valeur, & il s'y trouve en effet des termes très-petits qui ne font pas dans la premiere ; or le terme qui contient cof. z, peut être du nombre de ces derniers, & avoir un coefficient très-petit, comme les autres termes qui ne fe trouvent pas dans la premiere valeur supposée au rayon; pourquoi donc vouloir que le coefficient de ce terme foit = o, lorsqu'on ne fait pas la même suppofition fur les autres?

6. Cette derniere objection revient pour le fond, à celle qui a été déja faite à ce savant Géometre par M. Fontaine, fur la fuppofition qu'il fait dans fa folution, du coëfficient de cof.z égal à zéro. M. Fontaine, en envisageant l'équation intégrée fous une autre forme, fait voir que fuppofer le coefficient de cof. z = o, c'est suppofer égale à zéro, une conftante qu'on doit ajouter en intégrant, & qu'on n'eft pas le maître de fuppofer nulle

quand on n'a pas démontré directement & à priori qu'elle le doit être (a).

X.

1. Notre habile Analyfte ne peut faire qu'une feule réponse à cette derniere objection & à toutes celles de l'article précédent; c'eft que s'il conservoit dans la valeur du rayon des termes qui continffent cof. z, ces termes dans la fuite du calcul introduiroient des arcs de cercle dans la valeur du rayon, & rendroient fa folution fautive. Mais en premier lieu, d'aù fait-il que la valeur du rayon ne doit point contenir d'arcs de cercle? Il est vrai qu'elle ne doit point en contenir, pour être conforme à ce que les obfervations nous apprennent du mouvement des Planètes, & principalement de la Lune; mais il pourroit se faire que la théorie Newtonienne donnât à cet égard un résultat différent des Phénomènes ; & fupposer le contraire, c'eft fuppofer ce qui eft en queftion; il faut faire voir à priori, & par la nature de l'équation même (ce que notre favant Mathématicien n'a pas fait) que la valeur du rayon ne doit point contenir d'arcs de cercle.

2. En fecond lieu, quand même on fe feroit affuré, par une voie directe. & analytique, qu'il ne devroit point

(a) Le Mémoire de M. Fontaine fur ce fujet, doit fe trouver dans l'e Recueil de fes Œuvres, qui eft actuellement fous Preffe, & qui vraisemblablement ne tardera pas à paroître,

y avoir d'arcs de cercle dans la valeur du rayon, il y auroit, pour faire difparoître ces arcs, un autre moyen que de supposer égal à zéro le coefficient de cof. z; ce feroit de donner à cof. z un coëfficient indéterminé A, & par le moyen de ce coefficient & des autres, de rendre égaux à zéro les termes qui contiendroient des arcs de cercle dans l'expreffion du rayon trouvée par l'intégration. J'avoue que ce calcul feroit plus compliqué que celui dans lequel on faito le coefficient de col. z; mais le degré de complication plus ou moins grand ne décide rien ici pour ou contre la méthode; il falloit faire voir à priori, & par la nature de l'équation même, pourquoi le coëfficient de cof. z doit être néceffairement égal à zéro, pour qu'il ne fe rencontre point d'arcs de cercle dans l'expreffion du rayon vecteur; & c'eft encore ce que l'Auteur de la folution dont il s'agit, n'a pas fait.

3. Il eft vrai que dans la premiere fubftitution, où l'on néglige une grande quantité de termes, ceux qui renfermeroient des arcs de cercle ne donneroient point d'autre condition que celle du coëfficient A égal à zéro ; mais qu'on continue le calcul, qu'on ajoute de nouveaux termés avec des coefficiens indéterminés à la formule du rayon vecteur, & qu'on pouffe Féxactitude plus loin dans les fubftitutions, & on verra bientôt que les termes qui doivent renfermer des arcs de cercle dans l'intégrale, -contiendront dans leur coefficient d'autres indéterminées que A; que d'ailleurs cette indéterminée A s'y trouvera