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de l'intégration dans le cas de l'orbite des Comètes, où le terme udz ne fauroit avoir d'autre coëfficient que l'unité. Mai je vais plus loin, & je me propose de faire voir que dans le cas de l'orbite des Planètes, cette dis position de l'intégrale a plusieurs inconvéniens considés rables.

IX.

1. Ces inconvéniens, que je vais détailler, viennent en général de ce que cet habile Géometre a laissé mal-à propos, dans le cas de l'orbite des Planètes, l'équation difféxentielle de l'orbite sous la forme ddu+udz + Edza = 0 En conséquence l'équation intégrée contient un coefficient de cette forme Acof. z; or si ce coëfficient fe trouvoit dans la valeur du rayon vecteur, il en résulteroit dans la formule intégrale donnée par ce Géometre, des termes affectés d'arcs de cercle, qui rendroient la solution fautivé. Pour éviter cet inconvénient, l'habile & adroit Analyste a recours à la méthode des indéterminées; il suppose le rayon de l'orbite égal à une formule dont les coëfficiens sont inconnus, & dans laquelle il a foin que cos. z ne se trouve pas ; ensuite il fubftitue cette valeur dans l'intégrale générale de l'équation de l'orbite, & il fait égal à zéro dans cette intégrale, le terme qui contiendroit cof. .

2. On pourroit d'abord demander sur quel fondement ce Géometre donne à la valeur du rayon la forme qu'il choisit, & dans laquelle il n'y a d'indéterminés que les coëfficiens constans. D'où sait-on que la valeur du rayon doit avoir cette forme? Ne pourroit-on pas croire qu'en donnant une autre forme à la valeur du rayon, toujours avec des coëfficiens indéterminés, substituant cette valeur dans l'intégrale générale , & comparant les termes d'une autre maniere , on parviendroit à un autre réfultat qui n'approcheroit pas moins du vrai que le premier ; ou du moins qui pourroit paroître aussi légitime, puisque l'Analyse n'offriroit aucune raison de préférence ? Et ce doute ne seroit-il pas d'autant plus fondé, qu'il ne s'agit point ici d'avoir la valeur du rayon de l'orbite éxactes ment, mais seulement à peu-près ? .-3. D'où fait-on en particulier que la valeur du rayon ne doit point contenir cos. z ? Il seroit d'autant plus naturel de penser le contraire, que léquation de l'orbite non troublée contient ce terme cof. z avec un coëfficient considérable , & qu'il est assez difficile de concevoir (sur-tout quand on fe contente de le fupposer , & qu'on ne le tire pas directement de la solution même) comment ce terme si considérable peut disparoître toutà-coup par l'action de très-petites forces perturbatrices ?

4. La solution dont nous parlons, porte même à conserver les termes de cette forme ; car un des grands avantages de cette solution (selon son Auteur) eft de senfermer d'une part l'équation de l'orbite non troublée, & de l'autre la perturbation; or il est naturel de croire que la premiere substitution à faire dans la partie qui contient la perturbation , est celle du rayon de l'orbice

primitive & non troublée, lequel rayon contient cof. dans son expression.

s. Enfin puisque ce terme A cof. 2, qu’on avoit exclu de la valeur du rayon , se retrouve après les substitutions dans l'intégrale , pourquoi vouloir l'en chasser en faisant son coëfficient égal à zéro? Quand même on accorderoit à l'Auteur de cette solution, qu'il a pù omettre ce terine dans la premiere valeur approchée qu'il a supposée au rayon de l'orbite , il n'en seroit pas plus en droit de le faire disparoître dans la valeur tirée de l'intégrale. Car la premiere valeur qu'il a supposée au rayon , n'est qu'une valeur approchée; il peut donc se trouver dans la seconde valeur , & il s'y trouve en effet des termes très-petits qui ne sont pas dans la premiere; or le terme qui contient cof. z, peut être du nombre de ces derniers ; & avoir un coëfficient très-petit, comme les autres termes qui ne se trouvent pas dans la premiere valeur supposée au rayon; pourquoi donc vouloir que le coëfficient de ce terme foit = 0; lorsqu'on ne fait pas la même suppofition sur les autres ? : 6. Cette derniere objection revient pour le fond, à celle qui a été déja faite à ce savant Géometre par M. Fontaine , sur la supposition qu'il fait dans la solution, du coëfficient de cof. z égal à zéro. M. Fontaine , en en visageant l'équation intégrée sous une autre forme , fait voir que supposer le coëfficient de cof.x=0, c'est supposer égale à zéro, une conftante qu'on doit ajouter en intégrant, & qu'on n'est pas le maître de supposer nulle,

quand on n'a pas démontré directement & à priori. qu'elle le doit être. (a).

X.

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1. Notre habile Analyste ne peut faire qu'une seule réponse à cette derniere objection & à toutes celles de l'article précédent; c'est que s'il conservoit dans la valeur du rayon des termes qui continssent colo 2, ces tera mes dans la suite du calcul introduiroient des arcs de cercle dans la valeur du rayon , & rendroient sa solution fautive. Mais en premier lieu, d'où sait-il que la valeur du rayon ne doit point contenir d'arcs de cercle ? Il est vrai qu'elle ne doit point en contenir , pour être conforme à ce que les observations nous apprennent du mouvement des Planètes, & principalement de la Lune; mais il pourroit se faire que la théorie Newtonienne donnât à cet égard un résultat différent des Phénomènes ; & fupposer le contraire, c'est supposer ce qui est en question ; il faut faire voir à priori , & par la nature de l'équation même (ce que notre savant Mathématicien n'a que

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la valeur du rayon ne doit point contenir d'arcs de cercle.

2. En second lieu , quand même on se feroit assuré, par une voie directe. & analytique, qu'il ne devroit point

pas fait)

(a) Le Mémoire de M. Fontaine sur ce sujet, doit fe trouver dans le Recueil de ses @uvres , qui eft a&uellement sous Preffe, & qui veaisemblaplement ne tardera pas à paroître,

y avoir d'arcs de cercle dans la valeur du rayon , il y au roit, pour faire disparoître ces arcs, un autre moyen que de supposer égal à zéro le coëfficient de cof.z; ce seroit de donner à cos. 7 un coëfficient indéterminé A, & par le moyen de ce coëfficient & des autres, de rendre égaux à zéro les termes qui contiendroient des arcs de cercle dans l'expression du rayon trouvée par l'intégration. J'avoue que ce calcul feroit plus compliqué que celui dans lequel on fait so le coëfficient de cof. zz mais le degré de complication plus ou moins grand ne décide rien ici pour ou contre la méthode; il falloit faire voir à priori , & par la nature de l'équation même, pourquoi le coëfficient de cof. z doit être nécessairement égal à zéro , pour qu'il ne se rencontre point d'arcs de cercle dans l'expression du rayon vecteur; & c'est encore ce que l’Auteur de la solution dont il s'agit , n'a pas fait.

3. Il est vrai que dans la premiere fubftitution, où l'on néglige une grande quantité de termes, ceux qui renfermeroient des arcs de cercle ne donneroient point d'autre condicion que celle du coëfficient A égal à zéro ; mais qu'on continue le calcul, qu'on ajoute de nouveaux termes avec des coëfficiens indéterminés à la formule du rayon vecteur , & qu'on pousse l'exactitude plus loin dans les substitutions, & on verra bientôt que les terinęs qui doivent renfermer des arcs de cercle dans l'intégrale, -contiendront dans leur coëfficient d'autres indéterminées que A; que d'ailleurs cette indéterminée A s'y trouvera

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