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élevée à différenres puissances, & que par conséquent on pourra faire évanouir ces termes par d'autres suppositions que par celle de A=0.: * 4. En troisiéme lieu, quand même toutes les fuppofrtions qu'on peut faire pour anéantir les termes qui contiennent des arcs de cercle , reviendroient à celle de A=0(ce qui n'est pas), il est certain que cela ne se voit pas facilement; & que la solution seroit au moins imparfaite à cet égard, puisqu'on y auroit supposé comme yraies des choses qui demandoient à être prouvées.

s. Enfin (& c'est ici le point important & décisif) si dans la solution que nous examinons, les termes qui contiennent cos. z donnent des arcs de cercle, c'est un défaut particulier à cette solution, & qu'elle n'auroit pas si l’Auteur eût donné à l'équation différentielle de l'orbite , & à son intégrale , la vraie forme qu'elle doit avoir dans le cas de l'orbite des Planètes, & singulierement de l'orbite de la Lune. - 6. Cette forme consiste à fupposer, comme je l'ai fait ,

=eti, a étant la valeur premiere de u: au commeneement du mouvement. Cette valeur de uétant substituée dans l'équation différentielle, on verra, après le déve. loppement des différens termes, qu'au lieu du terme udz dont le coëfficient est l'unicé, & qui fait le grand embarras de la solution que nous éxaminons, on aura un terme de cette forme Kidz?, K étant un coëfficient différent de l'unité, & qui pour la Lune , par exemple,

3.na

est égal à environ 1

(n étant le rapport du mouvement moyen du Soleil à celui de la Lune); au moyen de ce coëfficient , s'il se trouve dans l'expression

des termes qui renferment cof. 7, ces termes ne doivent point donner des arcs de cercle dans l'équatiòn intégrée, mais des termes de cette forme comme il résulte de ma solution; toute autre solution est donc fautive à cet égard, & induit l’Analyste en

du rayon

B cor. ?

KI

erreur.

X I.

1. Aussi la solution que nous éxaminons, ne donneroit-elle point la vraie valeur du rayon vecteur de la Lune, si l'apogée du Soleil étoit immobile; car dans ce cas l’Auteur convient lui

même (Voyez sa Théorie de la Lune, p. 51.) que la solution donneroit des arcs de cercle dans la valeur du rayon vecteur. Cependant il est aisé de voir par l'article précédent, que dans le cas même où l'apogée du Soleil seroit immobile , il ne devroit pas y avoir pour cela des arcs de cercle dans l'expression du rayon; car l'immobilité de l'apogée donneroit à la vérité des cof. z dans la différentielle, mais on vient de voir que dans une solution éxacte (telle qu'est la nôtre) ces cof. z ne doivent point donner d'arcs de cercle.

2. D'ailleurs en supposant même faussement que les termes qui renfermeroient cof. z dans la différentielle , dussent donner des arcs de cercle dans l'intégrale , on

peut

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peut demander à l'Auteur de la solution que nous éxaminons, pourquoi ces cof. z, que renfermeroit l'équation différentielle dans le cas où l'apogée du Soleil seroit immobile , l'embarrasseroient plus que les cos. z que renferme l'équation intégrale primitive du rayon vecteur, & qu'il fait disparoître au moyen des indéterminées ? Pourquoi n'y auroit-il pas quelque expression indéterminée à donner au rayon vecteur , & qui étant substituée dans l’équation différentielle, feroit disparoître tous les cof. z ? Cela seroit facile : car trouvant d'abord au rayon vecteur (avec M. Clairaut) un terme de cette forme A cos. 2, & substituant ce terme dans l'équation différentielle; foitm A dz'cos. z le terme qui en résulte, & B dz? col.z le terme qui vient de l'immobilité supposée de l'apogée du Soleil ; on aura m A+B=0,ou A= supposition qui empêchera qu'il ne se rencontre des arcs de cercle dans l'intégrale. Pourquoi l'Auteur n'a t-il pas fait cette supposition, ou pourquoi n'a-t-il pas démontré qu'il ne faut

pas

la faire ?

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B

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:

m

XII.

1. En vain ce savant Mathématicien allégueroit-il ce qu'il a dit , p. 52 de sa Théorie de la Lune , que l'apog du Soleil n'est pas immobile, & qu'ainsi au lieu des cof.

Z स il y aura dans l'équation différentielle des col.pz, dans lesquels p est un nombre qui n'est pas éxactement l'unité, quoiqu'il en differe presque insensiblement, attendu le Opufc. Math. Tome II.

Kk

mouvement presque insensible de cet apogée. : 2. Cette réponse ne mettroit pas sa solution hors d'atteinte. Car 1o. il faudroit au moins qu'il convînt que cette solution seroit fautive dans le cas du repos de cet apogée , où d'autres solutions, telles que la mienne, n'ont pas le même inconvénient; or une solution qui ne s'étend pas à tous les cas où elle devroit & pourroit s'étendre, n'est pas une bonne solution. 2°. Dans le cas même de la mobilité de cet apogée, ce savant Géometre a tort de croire , comme il le dit , p. 52 de sa Théorie , que le diviseur de cor. p z dans l'intégrale soit 1 - pp; & d'en conclure , comme il le fait au même endroit , qu'on ne puiffe trouver par la théorie les coëfficiens de ces fortes de termes; car le diviseur seroit, non pas 1 - PP, mais K — PP, ou (pour la Lune ) à très-peu-près 1- 39--Pp, c'est-à-dire , à-peu-près - Ini & comme le numérateur de ces termes est beaucoup plus petit, étant de l'ordre de ***-, où å eft à-peu- . près l'excentricité de l’orbe de la Terre , c'est-à-dire, no, & le rapport de la parallaxe du Soleil à celle de la Lune; il n'en résulte point d’inconvénient dans l'intégrale, puisque le coëfficient après l'intégration est encore de l'ordre de , c'est-à-dire , d'environ "So, en supposant la parallaxe du Soleil de 15", & celle de la

Lune de 57'. C'est ce que j'ai fait voir plus en détail dans ma Théorie de la Lune , p. 237 & 244.

ΧΙΙΙ. 1. Voilà une partie des défauts qu'on peut reprocher à la solution que nous éxaminons, & dont nous avons été forcés de parler , par la nécessité de défendre la nộtre contre les objections de l'Auteur.

Ajoutons que cette méthode laisse à defirer non-feulement du côté de l'éxactitude, mais encore du côté de la simplicité & de l'élégance. En effet, si on se permet avec l'Auteur de supposer une valeur indéterminée au rayon vecteur, l'intégration de l'équation différentielle de l'orbite devient alors absolument inutile; il suffit de fubftituer dans la différentielle la valeur supposée du rayon vecteur , & de faire les coëfficiens des différens termes chacun égaux à zéro.

2. C'est la méthode qu'a fuivie le célébre M. Euler; & qui est la plus fimple & la plus facile de toutes; elle : n'a qu'un seul inconvénient, comme je l'ai déja remarqué dans mes Recherches sur le Systême du Monde, art. 103, 104 & 106. C'est qu'on n'est pas assuré que la forme qu'on donne à l'expression du rayon vecteur, soit la vraie ; j'ai même fait voir que cette supposition avoit en effet produit une méprise dans la solution de M. Euler.

3. Mais l’inconvénient qui résulte de cette supposition, est beaucoup moins grand dans la solution de M.

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