élevée à différentes puiffances, & que par conféquent on pourra faire évanouir ces termes par d'autres fuppofitions que par celle de Aoi”, 4. En troifiéme lieu, quand même toutes les fuppofftions qu'on peut faire pour anéantir les termes qui contiennent des arcs de cercle, reviendroient à celle de 4=o (ce qui n'eft pas), il eft certain que cela ne fe voit pas facilement; & que la folution feroit au moins imparfaite à cet égard, puifqu'on y auroit fuppofé comme vraies des chofes qui demandoient à être prouvées.. =0 5. Enfin (& c'est ici le point important & décifif) fi dans la folution que nous examinons, les termes qui contiennent cof. donnent des arcs de cercle, c'eft un Z défaut particulier à cette folution, & qu'elle n'auroit pas fi l'Auteur eût donné à l'équation différentielle de l'orbite, & à fon intégrale, la vraie forme qu'elle doit avoir dans le cas de l'orbite des Planètes, & finguliérement de l'orbite de la Lune. 6. Cette forme confifte à fuppofer, comme je l'ai fait ■= a+&, a étant la valeur premiere de a au commencement du mouvement. Cette valeur de zétant fubftituée dans l'équation différentielle, on verra, après le déve loppement des différens termes, qu'au lieu du terme u dz2 dont le coëfficient eft l'unité, & qui fait le grand embarras de la folution que nous éxaminons, on aura un terme de cette forme Kidz, K étant un coëfficient différent de l'unité, & qui pour la Lune, par exemple, 3.na eft égal à environ 1 — — (n étant le rapport du 2 mouvement moyen du Soleil à celui de la Lune); au moyen de ce coefficient, s'il se trouve dans l'expreffion du rayon des termes qui renferment cof. z, ces termes ne doivent point donner des arcs de cercle dans l'équa B col. z tion intégrée, mais des termes de cette forme comme il réfulte de ma folution; toute autre folution eft donc fautive à cet égard, & induit l'Analyfte en erreur. X I. K-I 1. Auffi la folution que nous éxaminons, ne donneroit-elle point la vraie valeur du rayon vecteur de la Lune, fi l'apogée du Soleil étoit immobile; car dans ce cas l'Auteur convient lui-même (Voyez sa Théorie de la Lune, p. 51.) que fa folution donneroit des arcs de cercle dans la valeur du rayon vecteur. Cependant il est aifé de voir par l'article précédent, que dans le cas même où l'apogée du Soleil feroit immobile, il ne devroit pas y avoir pour cela des arcs de cercle dans l'expreffion du rayon; car l'immobilité de l'apogée donneroit à la vérité des cóf. z dans la différentielle, mais on vient de voir que dans une folution éxacte (telle qu'est la nôtre) ces cof. z ne doivent point donner d'arcs de cercle. 2. D'ailleurs en fuppofant même fauffement que les termes qui renfermeroient cof. z dans la différentielle, duffent donner des arcs de cercle dans l'intégrale, on peut peut demander à l'Auteur de la folution que nous éxaminons, pourquoi ces cof. z, que renfermeroit l'équation différentielle dans le cas où l'apogée du Soleil feroit immobile, l'embarrafferoient plus que les cof. z que renferme l'équation intégrale primitive du rayon vecteur, & qu'il fait difparoître au moyen des indéterminées ? Pourquoi n'y auroit-il pas quelque expreffion indéterminée à donner au rayon vecteur, & qui étant substituée dans l'équation différentielle, feroit difparoître tous les cof. z? Cela feroit facile : car trouvant d'abord au rayon vecteur (avec M. Clairaut) un terme de cette forme A cof. 2, & substituant ce terme dans l'équation différentielle; foit m A dz2 cof. z le terme qui en réfulte, & B dz2 cof.z le terme qui vient de l'immobilité fuppofée de l'apogée du Soleil; on aura m A+B=0, ou A—— = B m : fuppofition qui empêchera qu'il ne fe rencontre des arcs de cercle dans l'intégrale. Pourquoi l'Auteur n'a-t-il pas fait cette fuppofition, ou pourquoi n'a-t-il pas démontré qu'il ne faut pas la faire ? X I I 1. En vain ce favant Mathématicien allégueroit-il ce qu'il a dit, p. 52 de fa Théorie de la Lune, que l'apogée du Soleil n'eft pas immobile, & qu'ainfi au lieu des cof. y aura dans l'équation différentielle des cof.pz, dans lefquels p eft un nombre qui n'est pas éxactement l'unité, quoiqu'il en differe prefque infensiblement, attendu le Opufc. Math. Tome II. il Kk mouvement prefque infenfible de cet apogée. que 2. Cette réponse ne mettroit pas fa folution hors d'atteinte. Car 1°. il faudroit au moins qu'il convînt que cette folution feroit fautive dans le cas du repos de cet la mienne, n'ont apogée, où d'autres folutions, telles pas le même inconvénient; or une folution qui ne s'étend pas à tous les cas où elle devroit & pourroit s'étendre, n'est pas une bonne folution. 2°. Dans le cas même de la mobilité de cet apogée, ce favant Géometre a tort de croire, comme il le dit, p. 52 de sa Théorie, que le divifeur de cof. pz dans l'intégrale foit 1-pp; & d'en conclure, comme il le fait au même endroit, qu'on ne puiffe trouver par la théorie les coëfficiens de ces fortes de termes; car le divifeur feroit, non pas 1-PP; mais K — pp, ou (pour la Lune) à très-peu près 2 & comme le numérateur de ces termes est beaucoup plus petit, étant de l'ordre de n2 λ où à est à-peu- . près l'excentricité de l'orbe de la Terre, c'est-à-dire, *, & le rapport de la parallaxe du Soleil à celle de la I B Lune; il n'en résulte point d'inconvénient dans l'intégrale, puifque le coëfficient après l'intégration eft encore de l'ordre de ———, c'est-à-dire, d'environ B fuppofant la parallaxe du Soleil de 15", & celle de la Lune de 57'. C'est ce que j'ai fait voir plus en détail dans ma Théorie de la Lune, p. 237 & 244. X II I. 1. Voilà une partie des défauts qu'on peut reprocher à la folution que nous éxaminons, & dont nous avons été forcés de parler, par la néceffité de défendre la nôtre contre les objections de l'Auteur. Ajoutons que cette méthode laiffe à defirer non-feulement du côté de l'éxactitude, mais encore du côté de la fimplicité & de l'élégance. En effet, fi on fe permet avec l'Auteur de fuppofer une valeur indéterminée au rayon vecteur, l'intégration de l'équation différentielle de l'orbite devient alors abfolument inutile; il fuffit de fubftituer dans la différentielle la valeur fuppofée du rayon vecteur, & de faire les coëfficiens des différens termes chacun égaux à zéro. 2. C'eft la méthode qu'a fuivie le célébre M. Euler, & qui eft la plus fimple & la plus facile de toutes; elle n'a qu'un feul inconvénient, comme je l'ai déja remarqué dans mes Recherches fur le Syflême du Monde, art. 103, 104 & 106. C'eft qu'on n'est pas affuré que la forme qu'on donne à l'expreffion du rayon vecteur, foit la vraie; j'ai même fait voir que cette fuppofition avoit en effet produit une méprise dans la folution de M. Euler. 3. Mais l'inconvénient qui réfulte de cette fuppofition, eft beaucoup moins grand dans la folution de M. |