Euler, que dans celle que nous éxaminons. On defireroit feulement que M. Euler eût démontré directement & à priori, pourquoi la forme qu'il suppose au rayon vecteur eft la vraie; & en particulier, pourquoi il ne fait point entrer cof.z dans l'expreffion de ce rayon. Du reste fa méthode pour connoître le rayon vecteur par le feul fecours de l'équation différentielle, eft très-courte, trèsélégante, & n'eft point sujette aux autres difficultés que les cof. font naître dans la folution éxaminée ci-dessus; そ difficultés particulieres à cette folution, puisqu'elles viennent de la forme peu avantageufe que fon Auteur a don née à l'intégrale qui exprime le rayon de l'orbite.

X I V.

1. La folution que j'ai donnée du Problême des trois Corps, appliqué au mouvement des Planètes, demande des intégrations pour trouver la valeur du rayon vecteur; & à cet égard elle eft moins fimple que celle de M. Euler; mais elle a fur cette folution & fur toutes les autres, l'avantage de donner directement & fans aucune fuppofition précaire, la forme du rayon vecteur. Et d'abord l'on voit d'un coup d'œil par la premiere inté gration, qu'à cause du coëfficient K du terme td z2, , le rayon vecteur ne doit point renfermer de cof. z.

2. De plus ma folution a fur celle que j'ai éxaminée dans ce Mémoire, l'avantage de n'être point fautive, dans le cas même où il fe rencontreroit des cof. z dans l'équation différentielle; cas où cette derniere folution

donne des arcs de cercle, quoiqu'il ne doive point y en avoir; voyez §. XI.

3. En général fi Adz' cof. Qz eft un des termes de la différentielle, ma méthode donne dans tous les cas le divifeur que A doit avoir dans l'intégrale, & qui n'est pointee, comme le donne la folution éxaminée 'dans ce Mémoire, mais

3 no

2

- le -ee, ou plus généralement KQQ, K étant le coefficient du terme ¿dz2.

པོ

4. Ma méthode a de plus l'avantage de la facilité du calcul. Car 1°. la feule inspection du coëfficient K du terme t d z2 donne le premier terme de la férie qui exprime le mouvement de l'apogée; enforte que z VK eft la premiere valeur de l'anomalie. 2°. De même la feule inspection des termes qui renferment cof. Nz dans la différentielle, donne tout d'un coup, & fans employer aucun autre calcul, la correction qu'il faut faire au mouvement de l'apogée; enforte que fi y eft le coefficient de ces termes, la correction à faire à VR est VK+

γ

P

P exprimant l'excentricité. Et l'on ne fauroit m'objecter que des termes de cette forme y dz2 cof. K z devroient donner des arcs de cercle dans ma folution; car j'ai démontré directement, art. 27. de ma Théorie de la Lune, que la valeur du rayon ne devoit point contenir d'arcs de cercle dans le cas de l'orbite des Planètes, & j'ai donné le moyen de faire difparoître ces arcs. J'ai de

plus déterminé, p. 242 & 243 de la même Théorie; les cas où les termes de cette forme y dz2 cof. K z donneroient des arcs de cercle; & j'ai remarqué que ces cas n'ont point lieu dans l'orbite des Planètes.

X V.

1. L'avantage que ma folution me paroît avoir de 'donner avec facilité & d'une maniere directe la forme du rayon vecteur, & le mouvement des apfides, a lieu nonfeulement dans la théorie de la Lune & des autres Planètes, mais auffi dans tous les Problêmes du même genre, où il est question de trouver l'orbite décrite en vertu des forces perturbatrices ajoutées à la force primitive. Suppofons, par exemple, avec le favant Géometre dont nous examinons la folution, que foito, & la force + ́, ou Fu2 + Ku3 (a); alors l'équation différentielle de l'orbite, en employant ma métho de, & en faifant u=a+c=1+t, fera d d t + (1–

F

x2

K

z

K -) c d z2 — Fd z2 + d z? — K d z2 = o ; d'où l'on tire tout d'un coup en intégrant par ma méthode (art. 25

gg

de ma Théorie) t=

(r-K-F)x(col.g V

K

gg

& par conféquent la valeur de u ou 1 + £.

(e) Voyez p. 18 de fa Théorie de la Lune,

2. Au contraire le Géometre dont nous venons de parler, eft obligé, pour ce cas fi fimple, d'employer la méthode des indéterminées, qui eft moins directe, & plus longue; moins directe, parce qu'on a befoin, de l'aveu de ce Géometre, de favoir d'avance la forme que doit avoir l'expression du rayon vecteur; plus longue, parce qu'il faut employer au moins trois indéterminées; la premiere, pour faire difparoître le terme qui contiendroit cof. z; la feconde, pour connoître le coefficient de

, ou, ce qui revient au même, le mouvement de l'apfide; & la troisième, pour déterminer le terme constant que l'expreffion de u doit contenir.

3. L'inconvénient de la méthode que nous éxaminons, eft encore plus grand, lorfque la force y eft égale à Fu2+Ku" +Lu" &c. un des coëfficiens m, n &c. étant différent du nombre 3; car indépendamment de la longueur du calcul, qui eft incomparablement plus grande que par ma méthode, ce cas a un inconvénient de plus que celui de Fu+Ku3. En effet dans le cas où Fu2 + K u3, quoiqu'on ne foit pas für d'abord que la valeur indéterminée qu'on a supposée au rayon vecteur, ait la forme convenable, on en eft affuré à la fin du calcul, parce que l'intégrale fe trouve éxacte, en déterminant convenablement les conftantes inconnues. Au contraire dans le cas de Y=Fu+Ku”+ 'Lu* &c. l'intégrale n'eft pas éxacte, & ne fauroit l'être par aucune méthode; on ne fauroit donc être fûr que forme qu'on a fuppofée au rayon vecteur, foit la vraie :

la

d'autant plus que fi on lui donnoit une autre forme ; & dans laquelle il fe trouvât, par exemple, des cof. z, la formule de notre favant Géometre donneroit en ce cas des arcs de cercle dans l'expreffion du rayon vecteur; & qu'il faut démontrer auparavant (ce qu'il n'a pas fait) qu'il ne doit point y avoir des arcs de cercle dans cette expreffion.

4. Ma méthode n'est point sujette à ces inconvéniens. Car 1°.j'ai démontré (art. 27 de ma Théorie de la Lune). qu'il ne devoit point y avoir d'arcs de cercle dans l'équation de l'orbite, au moins dans le cas où K & L font trèspetits par rapport à F; ce qui eft le feul cas dont il foit question ici. 2°. Je trouve par le calcul le plus court & le plus fimple, l'équation différentielle approchée

( 1 — K—L—F) dz2=o, dont l'intégrale eft par l'art.

Elle donne enfin, comme on le voit par l'art. 27 de

cette même Théorie, un moyen facile d'approcher de plus en plus de la vraie valeur det, & de corriger le mouvement déja trouvé des apfides, fans avoir aucune indéterminée à introduire dans l'expreffion du rayon, &

fans