Immagini della pagina
PDF

Euler, que dans celle que nous éxaminons. On desireroit seulement que M. Euler eût démontré directement & à priori , pourquoi la forme qu'il suppose au rayon vecteur est la vraie; & en particulier, pourquoi il ne fait point entrer cos. z dans l'expression de ce rayon. Du reste sa méthode pour connoître le rayon vecteur par le seul secours de l'équation différentielle , est très-courte , trèsélégante, & n'est point sujette aux autres difficultés que les cof. z font naître dans la solution éxaminée ci-dessus; difficultés particulieres à cette solution, puisqu'elles viennent de la forme peu avantageuse que son Auteur a dong née à l'intégrale qui exprime le rayon de l'orbite.

X I V. 1. La solution que j'ai donnée du Problème des trois Corps, appliqué au mouvement des Planètes, demande des intégrations pour trouver la valeur du rayon vecs teur; & à cet égard elle est moins simple que celle de M. Euler; mais elle a sur cette solution & sur toutes les autres, l'avantage de donner directement & fans aus cune supposition précaire, la forine du rayon vecteur. Et d'abord l'on voit d'un coup d'eil par la premiere intés gration, qu'à cause du coëfficient K du terme td z’, le rayon vecteur ne doit point renfermer de cof. R.

2. De plus ma solution a fur celle que j'ai éxaminée dans ce Mémoire , l'avantage de n'être point fautive, dans le cas même où il se rencontreroit des cof. z dans l'équation différentielle; cas où cette derniere solution

donne des arcs de cercle, quoiqu'il ne doive point y en avoir; voyez s. XI.

3. En général fi Adz cos. Q z est un des termes de la différentielle , ma méthode donne dans tous les cas le diviseur que A doit avoir dans l'intégrale , & qui n'est point 1-ll, comme le donne la solution éxaminée dans ce Mémoire , mais 1 - 3 - le, ou plus généralement K-PR,K étant le coëfficient du terme - d 72.

• 4. Ma méthode a de plus l'avantage de la facilité du calcul. Car 1°. la seule inspection du coëfficient K du terme id za donne le premier terme de la série qui exprime le mouvement de l'apogée; ensorte que z VK est la premiere valeur de l'anomalie. 2o. De même la seule inspection des termes qui renferment cos. N z dans la différentielle, donne tout d'un coup, & sans employer 'aucun autre calcul, la correction qu'il faut faire au mouvement de l'apogée; ensorte que si y est le coëfficient de ces termes, la correction à faire à VK eft V K+ ; P exprimant l'excentricité. Et l'on ne fauroit m'objecter que des termes de cette forme y dz? cos. K z devroient donner des arcs de cercle dans ma solution ; car j'ai démontré directement, art. 27. de ma Théorie de la Lune, que la valeur du rayon ne devoit point.contenir d'arcs de cercle dans le cas de l'orbite des Planètes , & j'ai donné le moyen de faire disparoître ces arcs. J'ai de

plus déterminé, p. 242 & 243 de la même Théorie, les cas où les termes de cette forme y dz? cos. K zdonneroient des arcs de cercle; & j'ai remarqué que ces cas n'ont point lieu dans l'orbite des Planètes.

X V.

'1. L'avantage que ma solution me paroît avoir de 'donner avec facilité & d'une maniere directe la forme du rayon vecteur , & le mouvement des apsides, a lieu nonseulement dans la théorie de la Lune & des autres Planètes, mais aussi dans tous les Problèmes du même genre , où il est question de trouver l'orbite décrite en vertu des forces perturbatrices ajoutées à la force primitive. Supposons , par exemple , avec le savant Géometre dont nous examinons la solution, que a soit =0,& la force

, ou Ft + Ku3(a); alors l'équa« tion différentielle de l'orbite, en employant ma méthode, & en faisant'ų=a+i=i+t, sera ddt+(1

-) .dzi - Fdzo+dz?- Kdzi=0; d'où l'on tire tout d'un coup en intégrant par ma méthode ( art. 25

K (1-K-F)x(col.7 V de ma Théorie) <=

F

K

K

I

:)

к

[ocr errors]

& par conséquent la valeur de u ou 1+ t.

(6) Voyez p. 18 de la Théorie de la Lune,

2. Au contraire le Géometre dont nous venons de parler, est obligé, pour ce cas si simple, d'employer la méthode des indéterminées, qui est moins directe,& plus longue; moins directe, parce qu'on a besoin, de l'aveu de ce Géometre , de savoir d'avance la forme que doit avoir l'expression du rayon vecteur; plus longue, parce qu'il faut employer au moins trois indéterminées ; la premiere , pour faire disparoître le terme qui contiendroit cof.z; la seconde, pour connoître le coëfficient de

, ou, ce qui revient au même , le mouvement de l'apfide; & la troisiéme, pour déterminer le terme confant que l'expression de u doit contenir.

3. L'inconvénient de la méthode que nous éxaminons, eft encore plus grand, lorsque la force y est égale à Fu' + Ku" +Lu" &c. un des coëfficiens m, n &c. étant différent du nombre 3 ; car indépendamment de la longueur du calcul , qui est incomparablement plus grande que par ma méthode, ce cas a un inconvénient de plus que celui de Y=F++ K u3. En effet dans le cas où ¥ = Fu? + K us, quoiqu'on ne soit pas für d'abord que la valeur indéterminée qu'on a supposée au rayon vecteur, ait la forme convenable, on en est assuré à la fin du calcul, parce que l'intégrale se trouve éxacte, en déterminant convenablement les constantes inconnues. Au contraire dans le cas de Y=Fu+ Ku" + Lu* &c. l'intégrale n'est pas exacte, & ne fauroit l'être par aucune méthode; on ne sauroit donc être sûr que la forme qu’on a fupposée au rayon vecteur, soit la vraie :

d'autant plus que si on lui donnoit une autre forme ; & dans laquelle il se trouvât, par exemple, des col.2, la formule de notre sayant Géometre donneroit en ce cas des arcs de cercle dans l'expression du rayon vecteur; & qu'il faut démontrer auparavant (ce qu'il n'a pas fait) qu'il ne doit point y avoir des arcs de cercle dans cette expression.

4. Ma méthode n'est point sujette à ces inconvéniens. Car 1° j'ai démontré (art. 27 de ma Théorie de la Lune) qu'il ne devoit point y avoir d'arcs de cercle dans l'équation de l'orbite, au moins dans le cas où K & L font trèspetits par rapport à F; ce qui est le seul cas dont il soit question ici. 2o. Je trouve par le calcul le plus court & le plus simple , l'équation différentielle approchée 'd de+(1

dze + (1-K-L-F) dz=0, dont l'intégrale est par l'art.

I-K-L-F 25 de ma Théorie,i=

*(1+

m

K

L

[ocr errors]

88

8 g

m -2,K

gg

-2.L
8 g

m 2.K

n

L

cof. z

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

-). 33 Elle donne enfin, comme on le voit par l'art. 27 de cette même Théorie, un moyen facile d'approcher de plus en plus de la vraie valeur de t, & de corriger le mouvement déja trouvé des apsides, sans avoir aucune indéterminée à introduire dans l'expression du rayon, &

fans

« IndietroContinua »