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fans être embarrassé des termes qui paroîtroient devoir donner des arcs de cercle dans l'expreflion du rayon Yecteur.

X V I.

du Monde, p. 110 de la premiere partie , &p. 237& suiv. plusieurs autres remarques sur l'intégration de l'équation différentielle de l'orbite des Planètes. Je ne répéterai point ici ces remarques, auxquelles je renvoye le Lec. teur. J'ajouterai seulement à ce qui a été dit à la page 241 de cet ouvrage, que quand il se trouveroit dans l'équation différentielle de l'orbite lunaire, des termes de cette forme cos. N -nitanz. ( N marquant, non pas la racine du coëfficient de od z' , mais le mouvement réel de l'apogée de la Lune, & * étant un nombre trèspeu différent de l'unité, qui donne le mouvement de l'apogée du Soleil); il n'y auroit point à craindre que ces termes en introduisîssent de trop grands par l'intégration. Car le diviseur de ces termes dans l'intégrale seroit (p. 244 & suiv. de notre Théorie) 1 - (N-ntan); c'est-à-dire , à-très-peu-près

--N?, ou 3m , qui ne seroit pas trop petit eu égard au coëfficient que pourroient avoir ces termes dans la différentielle. Ainsi quand même il se trouveroit dans l'équation différentielle des termes qui contiendroient cos, Opusc. Math. Tome II.

LI

Nznz tant, ces termes, quoique fort augmentés par l'intégration, demeureroient encore très-petits.

XVII. Après avoir expofé les ayantages de ma solution du Problême des trois Corps, je ne dois point disimuler qu'elle a des inconvéniens : mais ces inconvéniens lui font communs avec toutes les autres folutions, & viennent de ce qu'on n'a point encore de méthode complette pour résoudre le Problême dont il s'agit.

Ces inconvéniens font en général ; .

1°. Que le grand nombre de quantités, qu'on eft forcé de négliger , rend la yaleur des coëfficiens très-incertaine, J'en ai donné la preuve dans la premiere & la troisiéme partie de mes Recherches sur le Systême du Monde. Voyez premiere Partie , p. 197 - 204, 234,2353249, 250, 254 i & troisiéme Partie, p. 17, 18, 29, 30, 311. Voyez auffs l'Ecric inséré à la fin de la feconde Edition de mon Traité de Dynamiques .. ..

2°. Que les féries qui expriment la valeur des coëffis ciens, ne font pas toujours convergentes; c'est ce qu'on remarque sur-tout dans celle qui exprime le mouvement de l'apogée, & dont le premier terme ne donne qu'environ la moitié de ce mouyement. M. Clairaut s'en eft apperçu le premier , & 'a remarqué qu'en poussant le calcul plus loin, on retrouvoit l'autre moitié de ce mouvement. Mais quoique cette remarque soit très-importante, & réponde à la difficulté qui s'étoit élevée fur le mouvement de l'apos

gée ; cependant, pour s'assurer entiérement de la conformité de la théorie avec les observations, ce calcul ne fuffifoit pas encore, ainsi que je l'ai déja remarqué ailleurs. Car les deux premiers termes de la série qui exprime le mouvement de l'apogée, étant à-peu-près égaux, il pouvoit se faire que la série ne fût pas convergente au-delà de ces deux termes; il falloit donc prouver que les tera mes suivans étoient beaucoup plus petits que les deux premiers ; & c'est ce que j'ai fait dans la premiere Partie de mes Recherches , Ch. XX. Cependant, malgré le résultat favorable de ce calcul, c'est toujours une impero fection commune à toutes les folutions, de ne pas donner le mouvement de l'apogée par une serie qui soit tout d'un coup convergente...

30. Le même inconvénient fe rencontre , mais moins sensiblement, dans plusieurs autres termes de l'équation lunaire ; inconvénient qui tient encore à l'imperfection de l'approximation. J'en ai donné la preuve dans les endroits déja cités de mes Rech. fur le Systême du Monde.

4. Entin on remarquera qu'il y a plusieurs termes, qui étant très-petits dans l'équation différentielle de l'or, bite lunaire, augmentent considérablement par l'intégra tion. Tels font, par exemple, les termes qui expriment les sinus de 27— 2172 Nx, n étant le rapport de ta révolution moyenne de la Lonc à celle du Soleil , & N Panomalie de la Lune. J'ai remarqué le premier la néceflité d'avoir égard à ces termes dans l'équation de l'orbite lanaitė; & je fis part de cette remarque, pendant l'Eté de 1748, à M. Clairaut, qui n'ayant pas encore fait à ces fortes de termes une attention suffisante , croyoit alors que la théorie s'éloignoit entiérement des observations..

so. Il est d'autres termes qui peuvent augmenter encore plus que ceux-ci par l'intégration ; & qui peuvent même augmenter assez pour rendre la vraie valeur des coëfficiens assez incertaine. Tels sont, par exemple , les termes qui renferment sin. 27-222-2 Nz, pétant le rapport du mouvement moyen du næud à celui de la Lune; voyez la premiere Partie de mes Rech. p. 47 & 49, & la troisiéme Partie , p. 17. Il y auroit même telle combinaison qui rendroit énormément grand le résultat de l'intégration. Par exemple , s'il se trouvoit dans sa *3 des sinus de n -anz (*nz exprimant l'anomalie du Soleil); la double intégration qu'exige la quantité * * d 2S + x3 d z dans l'expression du tems , donneroit pour dénominateur nz(1 - ); c'est-à-dire , une quantité d'une petitesse extrême , puisqu'à cause de la lenteur du mouvement de l'apogée du Soleil, 1-7 est presque égal à zéro; en ce cas l'intégrale deviendroit fort grande. S'il se trouvoit par hasard dans l'équation de l'orbite lunaire des termes de cette forte , ils mettroient 'en défaut toutes les théories connues.

Or dans la combinaison infinie & inépuisable des différens termes qui doivent entrer dans l'équation de l'orbite lunaire, il me paroît bien difficile de s'assurer qu'on n'aura point de pareils termes. Leur effet seroit de prog

gration donnera

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gration

duire à la longue une altération apparente dans le moyen mouvement, tant que nz n z seroit assez petit pour que sin. 22-anz pût être censé à-peu-près égal à nz- anz; car soit Ale coëfficient de fin.nzanz qu’on suppose entrer dans la valeur de f* *3 dx; l'inté

A cos.nz—*n2_; & la double intéA lin. n 2 - inz

moc ge =unt , c'est-àdire , proportionnelle au moyen mouvement; ce qui donne par conséquent une altération apparente au moyen mouvement, tant que nz-anz est une partie assez petite de la circonférence. Mais au bout d'un grand nombre d'années, ou, si l'on veut, de siécles, lorsque sin.nz

anz ne peut plus être pris pour n 2 'nz; alors l'équation n'est plus proportionnelle au moyen mouvement, & rentre dans la classe des équations ordinaires (a).

Il suit de-là que les solutions trouvées jusqu'ici da Problême des trois Corps , & en particulier des inégalicés de la Lune', n'ont point encore le dégré de perfec cion qu'on y peut souhaiter ; & on ne sauroit trop exhorter les Géometres à chercher les moyens de parvenir à

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