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fans être embarraffé des termes qui paroîtroient devoir donner des arcs de cercle dans l'expreffion du rayon vecteur.

X V I.

1. On peut voir dans mes Recherches fur le Systême du Monde, p. 110 de la premiere partie, & p. 237 & fuiv. plufieurs autres remarques fur l'intégration de l'équation différentielle de l'orbite des Planètes. Je ne répéterai point ici ces remarques, auxquelles je renvoye le Lecteur. J'ajouterai feulement à ce qui a été dit à la page 241 de cet Ouvrage, que quand il fe trouveroit dans l'équation différentielle de l'orbite lunaire, des termes de cette forme cof. Nz− n z + x nz, (Nmarquant, non pas la racine du coëfficient de td z2, mais le mouvement réel de l'apogée de la Lune, & π étant un nombre trèspeu différent de l'unité, qui donne le mouvement de l'apogée du Soleil ); il n'y auroit point à craindre que ces termes en introduisîffent de trop grands par l'intégration. Car le divifeur de ces termes dans l'intégrale seroit (p. 244 & fuiv. de notre Théorie) 1

(N

a

3 n3

3 n2

n + n)2; c'est-à-dire, à-très-peu-près 1 —¡

3ns

N2, ou , qui ne feroit pas trop petit eu

'égard au coëfficient que pourroient avoir ces termes dans la différentielle. Ainfi quand même il fe trouveroit dans l'équation différentielle des termes qui contiendroient cof. Opufc. Math. Tome II.

LI

Nz➡nz+nz, ces termes, quoique fort augmentés par l'intégration, demeureroient encore très-petits.

X VI I.

Après avoir expofé les avantages de ma folution du Problême des trois Corps, je ne dois point diffimuler qu'elle a des inconvéniens: mais ces inconvéniens lui font communs avec toutes les autres folutions, & viennent de ce qu'on n'a point encore de méthode complette pour réfoudre le Problême dont il s'agit.

Ces inconvéniens font en général;

1°. Que le grand nombre de quantités, qu'on eft forcé de négliger, rend la valeur des coëfficiens très-incertaine, J'en ai donné la preuve dans la premiere & la troifiéme partie de mes Recherches fur le Systême du Monde. Voyez premiere Partie, p. 197–204, 234, 235, 249, 250, 254i & troifiéme Partie, p. 17, 18, 29, 30, 31. Voyez auffi L'Ecrit inféré à la fin de la feconde Edition, de mon Traité de Dynamiques

2°. Que les féries qui expriment la valeur des coeffi ciens, ne font pas toujours convergentes; c'eft ce qu'on remarque fur-tout dans celle qui exprime le mouvement de l'apogée, & dont le premier terme ne donne qu'environ la moitié de ce mouvement, M. Clairaut s'en eft apperçu le premier, & a remarqué qu'en pouffant le calcul plus loin, on retrouvoit l'autre moitié de ce mouvement. Mais quoique cette remarque foit très-importante, & réponde à la difficulté qui s'étoit élevée fur le mouvement de l'apo

gée; cependant, pour s'affurer entiérement de la conformité de la théorie avec les obfervations, ce calcul ne fuffifoit pas encore, ainfi que je l'ai déja remarqué ailleurs. Car les deux premiers termes de la série qui exprime le mouvement de l'apogée, étant à-peu-près égaux, il pouvoit fe faire que la férie ne fût pas convergente au-delà de ces deux termes; il falloit donc prouver que les termes fuivans étoient beaucoup plus petits que les deux premiers; & c'est ce que j'ai fait dans la premiere Partie de mes Recherches, Ch. XX. Cependant, malgré le réfultat favorable de ce calcul, c'est toujours une imperfection commune à toutes les folutions, de ne pas donner le mouvement de l'apogée par une ferie qui foit tout d'un coup convergente.

3o. Le même inconvénient fe rencontre, mais moins fensiblement, dans plufieurs autres termes de l'équation lunaire ; inconvénient qui tient encore à l'imperfection de l'approximation. J'en ai donné la preuve dans les endroits déja cités de mes Rech. fur le Systême du Monde. 64°. Entinson remarquera qu'il y a plusieurs termes, qui étant très-petits dans l'équation différentielle de l'or bite lunaire, augmentent confidérablement par l'intégra tion. Tels font, par exemple, les termes qui expriment les finus de 2 - 2 n z — 2 Nz, n étant le rapport de la révolution moyenne de la Lune à celle du Soleil, & Nz l'anomalie de la Lune. J'ai remarqué le premier la néceffité d'avoir égard à ces termes dans l'équation de Forbite lunaire ; & je fis part de cette remarque, pendant

l'Eté de 1748, à M. Clairaut, qui n'ayant pas encore fait à ces fortes de termes une attention fuffifante, croyoit alors que la théorie s'éloignoit entiérement des obfer

vations.

T

5. Il eft d'autres termes qui peuvent augmenter encore plus que ceux-ci par l'intégration; & qui peuvent même augmenter assez pour rendre la vraie valeur des coëfficiens affez incertaine. Tels font, par exemple, les termes qui renferment fin. 27-2 pz-2 Nz, pétant le rapport du mouvement moyen du noeud à celui de la Lune; voyez la premiere Partie de mes Rech. p. 47 & 49, & la troifiéme Partie, p. 17. Il y auroit même telle combinaifon qui rendroit énormément grand le résultat de l'intégration. Par exemple, s'il se trouvoit dans x3 dz des finus de nz — x nz ( x n z exprimant l'anomalie (nz du Soleil); la double intégration qu'exige la quantité x x d z S x x3 d z dans l'expreffion du tems, donneroit pour dénominateur zz2 (1 - — π )2 ; c'est-à-dire, une quantité d'une petiteffe extrême, puisqu'à cause de la lenteur du mouvement de l'apogée du Soleil, 1- eft presque égal à zéro ; en ce cas l'intégrale deviendroit fort grande. S'il le trouvoit par hafard dans l'équation de l'orbite lunaire des termes de cette forte, ils mettroient en défaut toutes les théories connues.

Or dans la combinaison infinie & inépuifable des différens termes qui doivent entrer dans l'équation de l'orbite lunaire, il me paroît bien difficile de s'affurer qu'on n'aura point de pareils termes. Leur effet feroit de pro

moyen

'duire à la longue une altération apparente dans le mouvement, tant que nz-nz feroit affez petit pour que fin. n - nz pût être cenfé à-peu-près égal à nz-πnz; car foit le coefficient de fin. nz - W NZ qu'on fuppofe entrer dans la valeur de x3 dz; l'inté

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πητ

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dire, proportionnelle au moyen mouvement; ce qui donne par conféquent une altération apparente au moyen mouvement, tant que nπn eft une partie affez petite de la circonférence. Mais au bout d'un grand nombre d'années, ou, fi l'on veut, de fiécles, lorfque fin. z z -Anz ne peut plus être pris pour n z l'équation n'est plus proportionnelle au moyen mouvement, & rentre dans la claffe des équations ordinai res (a).

-

πητό

alors

Il fuit de-là que les folutions trouvées jusqu'ici dà Problême des trois Corps, & en particulier des inégalités de la Lune, n'ont point encore le dégré de perfection qu'on y peut fouhaiter; & on ne fauroit trop exhorter les Géometres à chercher les moyens de parvenir à

(a) Voyez la feconde Partie de mes Recherches fur le Systéme du Monde, P. 94 & fuiv. J'y fais voir que l'altération apparente du moyen mouvement de Saturne pourroit bien tenir à des termes de cette espéce; c'est auffi ce qu'on a remarqué depuis dans la piéce qui a remporté le Prix de l'Académie des Sciences en 1760, fur l'altération du mouvement moyen des Pla

zétes.

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