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pas l'avoir , en ce cas on se retrouvera encore le mois suiyant dans le danger d'avoir la petite Vérole, & d'en mourir. Au contraire, le risque qu'on court par l'inoculation (à la vérité en un mois ) suppose qu'on a reçu effectivement la petite Vérole, & délivre de ce danger pour le reste de la vie, lorsqu'une fois on en est échappé. Je dis pour le reste de la vie; car quand il ne feroit pas rigoureusement prouvé que l'inoculation délivre abi solument d'avoir la petite Vérole, au moins il paroît que les inoculés n'ont pas plus à la craindre que ceux qui l'ont déja elle naturellement. Or nous voyons que ceux qui ont déja eu la petite Vérole naturelle, ne la craignent plus ; & les Médecins font partagés sur la question, fi on a deux fois cette maladie ; ce qui prouve au moins que le cas est rare.

2. Voilà donc le point de vůe fous lequel on doit comparer les deux risques; l'un plus grand ( quoiqu'assez petit en lui-même ) mais ne devant durer qu'un mois fur tout le cours de la vie ; l'autre plus petit , mais des vant se répéter à chaque mois : le premier de ces risques ferą nul dès qu'on y aura échappé ; le second, dès qu'on y aura échappé, recommencera tout de nouveau , & pourra même aller toujours en augmentant de mois en mois , au moins jusqu'à un certain âge. Ainsi la diffi. culté Mathématique de la question consiste à savoir comment on doit comparer ces deux risques. Le premier (suivant les Inoculateurs ) est cos & le second est formé de la fomme des risques qu'on court à chaque mois,

chacun de ces risques devant pourtant être diminué à raison de l'éloignement du tems où chacun des mois eft placé. Car il est clair que si zóo, ou toute autre fraction, exprime le risque de mourir à 40 ans de la petite Vérole en un mois, pour ceux qui sont parvenus à cet âge; ce risque ne doit pas être estimé so quand on l'envisage long-tems avant l'âge de 40 ans, par exemple, à l'âge de ans ; sur-tout quand on compare ce rif, que au risques de mourir de l'inoculation en un mois ; parce que le risque zoo eft un risque présent & instant de perdre la vie en un mois , & que le risque cabo est un risque éloigné, & que l'on ne doit courir qu'après avoir vêcu 35 ans, c'est-à-dire , après avoir profité des plus belles années de la vie. En un mot, le risque de périr de l’inoculation, quelque petit qu'il soit , est un danger présent, & le risque de mourir de la petite Vérole naturelle ( quoique plus grand ) est un danger éloigné, qui se répand sur tout le tenis de la vie , & dont les différentes parties s'affoiblissent par degrés, en se répandant sur cet espace. Or par quelle méthode réduire ce dernier risque en calcul ? Comment en apprécier les diffé. rentes parties, & comment en évaluer la somme?

3. La seule maniere dont il paroît qu'on puisse comparer les deux risques, est celle-ci. On considere la vie comme une loterie , d'où il fort un certain nombre de lots qui portent la mort ; les inoculés mettent à cette loterie un billet de plus que les autres hommes; en conséquence de çe billet le lot de la mort peut sortir

poul pour eux dans l'espace d'un mois; mais ce mois passé, le lot de la mort doit sortir plus tard pour eux, que pour ceux qui n'ont point mis ce billet. Or on demande quel est l'avantage des Joueurs à cette loterie , ou quel est le rapport de l'espérance des Joueurs qui n'ont point mis le billet, à l'espérance des Joueurs qui l'ont mis ? Je vais tâcher de donner dans la théorie suivante la seule réponse qu'on puisse faire à cette question; & je ne diffimulerai point en même-tems ce que l'on peut encore desirer dans cette théorie , pour en être pleinement satisfait.

THÉORIE MATHÉMATIQUE

DE LINOCULATION. . 4. Soit AO (fig. 1.) une ligne indéfinie , qu’on suppose divisée en un nombre indéfini de parties très-petites AB, BC, CD &c. dont chacune représente une année. Supposons de plus qu'au point K, on éleve une perpendiculaire AK, qui représente le nombre de personnes qui naissent en même tems dans un même lieu, & principalement dans une grande Ville , telle que Paris, Londres &c. Quand je dis en même-tems , je n'entends point par ce mot le même instant de tems pris rigoureusement, mais un espace de tems assez court, par exemple, celui d'une année : car on peut supposer sans erreur sensible , que s'il naît, par exemple, 20000 personnes par an à Paris , ces 20000 personnes naissent tout-à-la

Opusc. Math. Tome II. .'

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fois au commencement de l'année. Mais pour nous exo primer d'une maniere encore plus générale & plus éxacte, nous fuppoferons que A K représente en général un nombre donné de personnes, toutes du même âge, & vivan tes au commencement A du tems indéfini AO.

s. Soit AR une portion de la ligne indéfinie AO, laquelle portion A R représente un certain nombre na d'années, ensorte que AR=nAB; supposons de plus qu'à la fin du tems AR, le nombre de personnes qui existent encore, & qui restent de la quantité A K qu'il y en avoit au commencement du tems AR , soit repréfenté par R E; & imaginons qu'à chaque point R de la ligne AO, on éleve de pareilles lignes R E, qui représentent le nombre d'hommes restant: il est évident; 1o. qu’on formera par ce moyen une courbe K El qui ira rencontrer la ligne indéfinie AO en un point , & que A exprimera le tems à la fin duquel les pers sonnes dont le nombre est représenté par AK , & qui existent en même tems, seront toutes mortes, sans qu'il en reste une seule ; 2°. que toutes les personnes vivantes à la fois à la fin d'un tems quelconque ÅR,& dont le nombre eft représenté par l'ordonnée R E, seront du même âge; 3o. que puisque pendant l'espace de tems R r,qu'on peut fuppofer d'une année, le nombre des vivans R E de mê. me âge est diminué de la quantité E è, le nombre des vivans de ce même âge , s'il étoit R F, seroit diminué

E exRF pendant le même tems Rr d'une quantité Fo= E

6. Imaginons maintenant par le point K la ligne KN indéfinie & parallèle à A0;& sur cette ligne élevons à chaque point G des perpendiculaires G H, marquant le nombre de personnes qui meurent de la seule petite Vérole pendant le tems AR, & qui par conséquent n'exiftent pius à la fin de ce tems A R par le ravage de cette seule maladie. Il est aisé de voir; 1°. qu’on formera par ce moyen une courbe K HL; 2°. que comme il est rare d'avoir la petite Vérole dans un âge avancé, par exemple, à 60 ans, si on prend A M=60 AB, la partie LS de cette courbe KHL, qui commence au point L, sera sensiblement parallèle à l'axe, & pourra même lui être absolument parallèle, si A M exprime un âge auquel personne n'a plus la petite Vérole, comme 70 ou 75 ans, plus ou moins; 3o. que si on mene HT parallèle à KN, les ordonnées LV représenteront le nombre de personnes mortes de la seule petite Vérole pendant le tems R M; & que par conséquent X x représentera ce qui meurt de la seule petite Vérole pendant le tems Rr.

7. Cela posé, soit Ak=k; AR=x;RE=y; GH=u; on voit d'abord que si toutes les personnes exiftantes à - la - fois au commencement A du tems AR, avoient eû la petite Vérole auparavant, il en périroit un moindre nombre pendant le tems A R, puisque l'une des causes de mort, favoir la petite Vérole , n'existeroit plus,ou du moins ne causeroit plus que très-peu de morts; (Voyez cette Note Dart. 1. ). Ainsi à la fin du temsAR, le nombre des personnes de même âge qui vivroient.

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