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pas l'avoir, en ce cas on fe retrouvera encore le mois fuivant dans le danger d'avoir la petite Vérole, & d'en mourir. Au contraire, le rifque qu'on court par l'inocu lation (à la vérité en un mois) fuppofe qu'on a reçu effectivement la petite Vérole, & délivre de ce danger pour le reste de la vie, lorfqu'une fois on en eft échappé. Je dis pour le refte de la vie; car quand il ne feroit pas rigoureusement prouvé que l'inoculation délivre ab folument d'avoir la petite Vérole, au moins il paroît que les inoculés n'ont pas plus à la craindre que ceux qui l'ont déja eûe naturellement. Or nous voyons que ceux qui ont déja eu la petite Vérole naturelle, ne la craignent plus ; & les Médecins font partagés fur la question, fi on a deux fois cette maladie ; ce qui prouve au moins que le cas eft rare.

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2. Voilà donc le point de vûe fous lequel on doit comparer les deux rifques; l'un plus grand (quoiqu'affez petit en lui-même) mais ne devant durer qu'un mois fur tout le cours de la vie; l'autre plus petit, mais devant se répéter à chaque mois : le premier de ces rifques ferą nul dès qu'on y aura échappé ; le fecond, dès qu'on y aura échappé, recommencera tout de nouveau, & pourra même aller toujours en augmentant de mois en mois, au moins jufqu'à un certain âge. Ainfi la difficulté Mathématique de la question confifte à favoir comment on doit comparer ces deux rifques. Le premier (fuivant les Inoculateurs) eft,; & le fecond eft formé de la fomme des rifques qu'on court à chaque mois,

chacun de ces risques devant pourtant être diminué à raifon de l'éloignement du tems où chacun des mois est placé. Car il eft clair que fi, ou toute autre frac tion, exprime le risque de mourir à 40 ans de la petite Vérole en un mois, pour ceux qui font parvenus à cet âge; ce rifque ne doit pas être eftimé quand on

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l'envisage long-tems avant l'âge de 40 ans, par exemple, à l'âge de 5 ans ; fur-tout quand on compare ce rif que au rifque de mourir de l'inoculation en un mois; parce que le rifque eft un rifque préfent & inftant de perdre la vie en un mois, & que le rifque 200 est un risque éloigné, & que l'on ne doit courir qu'après avoir vêcu 35 ans, c'est-à dire, après avoir profité des plus belles années de la vie. En un mot, le rifque de périr de l'inoculation, quelque petit qu'il foit, eft un danger préfent, & le rifque de mourir de la petite Vérole naturelle (quoique plus grand) eft un danger éloigné, qui fe répand fur tout le tenis de la vie, & dont les différentes parties s'affoibliffent par degrés, en se répandant fur cet espace. Or par quelle méthode réduire ce dernier rifque en calcul? Comment en apprétier les différentes parties, & comment en évaluer la fomme?

3. La feule maniere dont il paroît qu'on puiffe comparer les deux rifques, eft celle-ci. On considere la vie comme une loterie, d'où il fort un certain nombre de lots qui portent la mort; les inoculés mettent à cette loterie un billet de plus que les autres hommes ; en conféquence de ce billet le lot de la mort peut fortir

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pour eux dans l'espace d'un mois; mais ce mois paffé, le lot de la mort doit fortir plus tard pour eux, que pour ceux qui n'ont point mis ce billet. Or on demande quel eft l'avantage des Joueurs à cette loterie, ou quel eft le rapport de l'efpérance des Joueurs qui n'ont point mis le billet, à l'espérance des Joueurs qui l'ont mis? Je vais tâcher de donner dans la théorie fuivante la feule réponse qu'on puisse faire à cette queftion; & je ne diffimulerai point en même-tems ce que l'on peut encore defirer dans cette théorie, pour en être pleinement satisfait.

THÉORIE MATHÉMATIQUE

DE L'INOCULATION.

4. Soit AO (fig. 1.) une ligne indéfinie, qu'on fuppose divisée en un nombre indéfini de parties très-petites AB, BC, CD &c. dont chacune repréfente une année. Suppofons de plus qu'au point K, on éleve une perpendiculaire AK, qui représente le nombre de perfonnes qui naiffent en même tems dans un même lieu, & principalement dans une grande Ville, telle que Paris, Londres &c. Quand je dis en même-tems, je n'entends point par ce mot le même inftant de tems pris rigoureufement, mais un efpace de tems affez court, par exemple, celui d'une année : car on peut fuppofer fans erreur fenfible, que s'il naît, par exemple, 20000 perfonnes par an à Paris, ces 20000 perfonnes naiffent tout-à-laOpufc. Math. Tome II.

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fois au commencement de l'année. Mais pour nous ex primer d'une maniere encore plus générale & plus éxacte, nous fuppoferons que AK représente en général un nombre donné de personnes, toutes du même âge, & vivantes au commencement A du tems indéfini AO.

A Q

5. Soit AR une portion de la ligne indéfinie AO; laquelle portion AR repréfente un certain nombre d'années, enforte que ARn AB; fuppofons de plus qu'à la fin du tems AR, le nombre de perfonnes qui existent encore, & qui reftent de la quantité A K qu'il y en avoit au commencement du tems AR, foit repréfenté par R E; & imaginons qu'à chaque point R de la ligne 40, on éleve de pareilles lignes R E, qui repréfentent le nombre d'hommes reftant: il est évident; 1o. qu'on formera par ce moyen une courbe KEQ qui ira rencontrer la ligne indéfinie AO en un point Q, & que exprimera le tems à la fin duquel les perfonnes dont le nombre eft représenté par A K, & qui exiftent en même tems, feront toutes mortes, fans qu'il en refte une feule; 2°. que toutes les perfonnes vivantes à la fois à la fin d'un tems quelconque AR,& dont le nombre eft représenté par l'ordonnée R E, feront du même âge; 3°. que puifque pendant l'efpace de tems R r,qu'on peut fuppofer d'une année, le nombre des vivans RE de même âge eft diminué de la quantité Ee, le nombre des vivans de ce même âge, s'il étoit R F, feroit diminué pendant le même tems Rr d'une quantité Fo=

ExRF

RE

6. Imaginons maintenant par le point K la ligne KN indéfinie & parallèle à AO; & fur cette ligne élevons à chaque point G des perpendiculaires G H, marquant le nombre de personnes qui meurent de la feule petite Vérole pendant le tems AR, & qui par conféquent n'exiftent pius à la fin de ce tems AR par le ravage de cette feule maladie. Il est aifé de voir; 1o. qu'on formera par ce moyen une courbe K HL; 2°. que comme il eft rare d'avoir la petite Vérole dans un âge avancé, par exemple, à 60 ans, fi on prend A M=60 AB, la partie LS de cette courbe K HL, qui commence au point L, fera fenfiblement parallèle à l'axe, & pourra même lui être absolument parallèle, fi A M exprime un âge auquel perfonne n'a plus la petite Vérole, comme 70 ou 75 ans, plus ou moins ; 3°. que fi on mene HT parallèle à K N, les ordonnées LV représenteront le nombre de perfonnes mortes de la feule petite Vérole pendant le tems R M; & que par conféquent X x représentera ce qui meurt de la feule petite Vérole pendant le tems Rr. 7. Cela pofé, foit A K—k; AR x; RE GHu; on voit d'abord que fi toutes les perfonnes exiftantes à la fois au commencement A du tems AR, avoient eû la petite Vérole auparavant, il en périroit un moindre nombre pendant le tems AR, puifque l'une des caufes de mort, favoir la petite Vérole, n'existeroit plus,ou du moins ne cauferoit plus que très-peu de morts; (Voyez cette Note Dart. 1.). Ainfi à la fin du temsAR, le nombre des perfonnes de même âge qui vivroient

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