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RE

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encore , seroit plus grand que R E. Supposons ce nombre =RF=r; il est évident, 1°. que E e représentant la quantité dont le nombre R E est diminué pendant le tems R r, tant par la petite Vérole, que par d'autres .

EX FR maladies, Fo

représenteroit la quantité dont le nombre RF des personnes du même âge seroit diminué durant le même tems, toutes choses d'ailleurs égales ; 2°. que si les personnes dont le nombre est représenté par R F étoient sujettes à la petite Vérole , cette maladie en feroit périr pendant le tems Rr la quan,

X x XRF tité X&=

Mais comme on suppose que toutes les personnes dont le nombre est représenté par RF, ont eu la petite Vérole , le nombre F o qui devroit mourir dans le tems R r, soit de la petite Vérote , soit autrement , doit être diminué de la quantité fz=XE. qui exprime ce qui périroit par la petite Vérole seule. C'est pourquoi on trouvera RF-ozou dz=

zdy zdu. - X= +

; je mets + y

, parce que 7 & y diminuent pendant que u croît.

zdy

E x RF

RE

du

& non

şdu

=

du 8. On aura donc dz=

dont l'inté s de 쁨 grale eft z=yc ; c exprimant le nombre dont le Logarithme est l'unité. On voit par cette équation ;

?

3

du

=0,

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yo. que z est toujours plus grand que y, excepté lorf

que y=k., & lorsque y=0; car dans le premier cas so & par conséquent z=y; & dans le fecond, z = 0 aussi-bien que y ; 2°. que vers l'extrémité de Al, par exemple , au point M, où la courbe KLS dégénére en une partie LS, qui est exactement ou sen

ssiblement parallèle à l'axe, on a c

=à un nombre constant, ou exactement , ou à très-peu-près ; de sorte que 7

est

pour lors en raison constante, ou à-très-peuprès constante avec y.

9. De-là il est évident; 1o. que si toutes les perfonnes qui existent en même-tems en nombre A Kau commencement du tems AR, ont eu la petite Vérole, ensorte qu'elles n'ayent plus ou presque plus à la craindre , le nombre R F qui en restera à la fin du tems AR , sera plus grand que

si ces mêmes personnes avoient la petite Vérole à craindre , & fera plus grand dans le

rap

ď u

S

port

du nombre c à l'unité; 2°. qu'à la fin du tems Al, les personnes dont le nombre est représenté par A K, seront toutes mortes, soit qu'elles n'ayent pas eu la petite Vérole avant le commencement Adu tems AQ, soit qu'elles l'ayent elle.

10. C'est pourquoi si de 20000 personnes, par exemple, qui naissent ou qui existent en même tems au même âge, il n'en existe plus une seule au bout d'un certain

du

nombre n d'années, il n'en existera pas non plus une seule au bout de ce même nombre d'années, quand même ces personnes auroient eû toutes la petite Vérole avant le commencement de ce nombre n d'années. Il ne faut pas cependant conclure de-là que tout soit égal dans les deux cas. Car 1o. comme la courbe K FQ est toute extérieure à la courbe KEQ, la vie moyenne de toutes les personnes A K qui existent en même-tems & au même âge , sera dans le premier cas égale à l'aire AKE divisée par AK, & dans le second égale à l'aire AKF divisée par AK. Ainsi dans le premier cas la vie moyenne sera plus courte que dans le second, en raison de AKE

st

i à AK FQ; c'est-à-dire , de S y d sy d xc en prenant ces intégrales pour ce qu'elles sont au point Q. 2°. Si RE & R' F' (fig. 2.) sont faites égales à la moitié de AK, les abscisses correspondantes AR, AR! représenteront les tems au bout desquels dans les deux cas le nombre A K des personnes vivantes au même âge sera réduit éxactement à la moitié, & par conséquent le tems que chacune des personnes A K en particulier peut raisonnablement espérer de vivre; donc puisque AR <AR', ce tenis sera plus petit dans le premier cas que dans le second. C'est pourquoi si toutes les personnes représentées par AK,& de même âge, ont eu la petite Vérole au commencement du tems AQ, leur vie moyenne en sera plus longue,& chacune d'elles

pourra espérer de vivre plus long-tems, que si ces personnes AK

avoient encore la petite Vérole à craindre ; quoiqu'à la fin du tems AQ toutes soient mortes dans les deux cas.

11. Je suppose présentement que parmi le nombre A K de personnes existantes au même âge, AK (fig. 3. ) représente toutes celles qui n'ont point eu la petite Vésole, ou un nombre quelconque d'entr'elles. Il est d'abord évident qu'en traçant la courbe K'Fe, qui soiç telle que

RF soit à RF comme A K eft AK', cette courbe exprimeroit la mortalité des personnes AK', en fupposant qu'elles eussent toutes eu la petite Vérole. Donc si on les inocule toutes, & qu'il en survive la partie Ak', alors traçant la courbe k' f'l, qui soit telle que Rf' soit à R F comme A k' est à AK; cette courbe k't'exprimera la mortalité des inoculés. Donc la vie moyenne des inoculés A K' sera représentée par l'aire Akif'e AKF

& fi on fait AA= & R'O=AA, AR' marquera le tems que les inoculés AK'peuvent raisonnablement espérer de vivre.

12. Il s'agit à présent de savoir quelle seroit la mortalité des personnes A K' (dont on suppose qu'aucune n'a eu la petite Vérole) si toutes ces personnes s'abandonnoient à la nature. Il est d'abord évident que cette mortalité sera la même (c'est-à-dire , que le nombre des survivans après un tems quelconque , sera dans le même rapport avec AK') soit que le nombre A K' représente toutes les personnes qui n'ont point eu la petite Vérole fur le nombre A K des vivans au même âge, soit qu'il

Akt

AK

Х

AK'

AK

AK

2

que ARI

pour le

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u'd ?

du

n'en représente qu'une partie. Supposons donc
représente toutes les personnes de même âge, & habi-
tantes d'un même lieu , qui n'ont point eu la petite Véro-
le; & que K'EQ (fig. 4.) soit leur courbe de morta-
lité. Soit RE'=u' le nombre de personnes restantes
après le tems A R sur le nombre AK' de ceux qui n'ont
point encore eu la petite Vérole à l'instant A; il est clair
d'abord

que
si toutes les personnes u' avoient eû la

petite Vérole, on auroit

u' d3 du'

, nombre de personnes qui mourroient pendant le petit tems dt; à quoi il faut ajouter le nombre + du de ceux qui meurent dans ce même-tems de la petite Vérole. Donc

+-du; or on a trouvé plus

& d y z du haut (n. 8.) dz=

ou - dy=- m? -du'

dz +du; donc

;ouy-a =Pz; P exprimant une constante. Or au point A, on a z=y=k (en fupposant AK=k); donc si on appelle k' la valeur de u' au point A, on aura k — k' Pk; donc P

; donc y-u'=(1 st ==yC

x11- * -);&v=y-ye su Il ne s'agit plus que de savoir

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ydz

dy

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ju'

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k

k du

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quelle

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