Opuscules, mathematiques ou memoires sur differens sujets de Geometrie de mechanique etc

maladies, Fo

EX FR

encore, feroit plus grand que RE. Suppofons ce nombre = RF=2; il eft évident, 1°. que Ee représentant la: quantité dont le nombre RE eft diminué pendant le tems R r, tant par la petite Vérole, que par d'autres. représenteroit la quantité dont le nombre RF des perfonnes du même âge feroit diminué durant le même tems, toutes chofes d'ailleurs égales ; 2°. que fi les perfonnes dont le nombre eft reest préfenté par RF étoient fujettes à la petite Vérole, cette maladie en feroit périr pendant le tems Rr la quan Mais comme on suppose que

tité X=

Xxx RF

toutes les perfonnes dont le nombre eft représenté par RF, ont eu la petite Vérole, le nombre Fo qui devroit mourir dans le tems Rr, foit de la petite Vérole, soit autrement, doit être diminué de la quantité ƒ z=X&; qui exprime ce qui périroit par la petite Vérole feule. C'est pourquoi on trouvera RF-rzou dz

Ex RF

-X3= z du

, parce que z & y diminuent pendant que u

8. On aura donc dz=

grale eft z=y c

; c exprimant le nombre dont

le Logarithme eft l'unité. On voit par cette équation ;

1o. que z est toujours plus grand que y, excepté lorsque y=k, & lorfque y = o; car dans le premier cas & par conféquent z=y; & dans le fecond, z =o auffi-bien que y; 2°. que vers l'extrémité de AQ, par exemple, au point M, où la courbe K L S dégénére en une partie L S, qui eft exactement ou sen

à un nom

fiblement parallèle à l'axe, on a c bre constant, ou éxactement, ou à très-peu-près; de forte que z eft pour lors en raifon conftante, ou à-très-peuprès constante avec y.

9. De-là il est évident; 1o. que si toutes les perfonnes qui existent en même-tems en nombre AK au commencement du tems AR, ont eu la petite Vérole, enforte qu'elles n'ayent plus ou prefque plus à la craindre, le nombre R F qui en reftera à la fin du tems AR, sera plus grand que fi ces mêmes personnes avoïent la tite Vérole à craindre, & fera plus grand dans le rap

ď u

port du nombre c à l'unité; 2°. qu'à la fin du tems AQ, les personnes dont le nombre eft représenté par AK, feront toutes mortes, foit qu'elles n'ayent pas eu la petite Vérole avant le commencement Adu tems. AQ, foit qu'elles l'ayent eûe.

10. C'est pourquoi fi de 20000 perfonnes, par exemple, qui naiffent ou qui exiftent en même-tems au même âge, il n'en exifte plus une feule au bout d'un certain.

nombre n d'années, il n'en exiftera pas non plus une seule au bout de ce même nombre d'années, quand même ces perfonnes auroient eû toutes la petite Vérole avant le commencement de ce nombre n d'années. Il ne faut pas cependant conclure de-là que tout foit égal dans les deux cas. Car 1°. comme la courbe K FQ est toute extérieure à la courbe KEQ, la vie moyenne de toutes les perfonnes AK qui exiftent en même-tems & au même âge, fera dans le premier cas égale à l'aire AKE Q divifée par AK, & dans le fecond égale à l'aire AKFQ divifée parĀK. Ainsi dans le premier cas la vie fera plus courte que dans le fecond, en raifon de AK EQ

moyenne

à AKFQ; c'est-à-dire, de fy d x à fy d x c en prenant ces intégrales pour ce qu'elles font au point Q. 2°. Si RE & R' F' (fig. 2.) font faites égales à la moitié de AK, les abfciffes correfpondantes AR, AR! représenteront les tems au bout defquels dans les deux cas le nombre AK des perfonnes vivantes au même âge fera réduit éxactement à la moitié, & par conféquent le tems que chacune des perfonnes A K en particulier peut raisonnablement efpérer de vivre; donc puifque AR <AR', ce tems fera plus petit dans le premier cas que dans le fecond. C'eft pourquoi fi toutes les perfonnes représentées par A K, & de même âge, ont eu la petite Vérole au commencement du tems AQ, leur vie moyenne en fera plus longue, & chacune d'elles espérer de vivre plus long-tems, que fi ces perfonnes AK

pourra

avoient encore la petite Vérole à craindre ; quoiqu'à la fin du tems AQ toutes foient mortes dans les deux cas.

que

11. Je fuppofe préfentement que parmi le nombre A K de personnes exiftantes au même âge, A K' (fig. 3.) représente toutes celles qui n'ont point eu la petite Vérole, ou un nombre quelconque d'entr'elles. Il eft d'abord évident qu'en traçant la courbe K' F'Q, qui soiț telle RF' foit à RF comme A Keft AK', cette courbe exprimeroit la mortalité des perfonnes AK', en fuppofant qu'elles euffent toutes cu la petite Vérole. Donc fi on les inocule toutes, & qu'il en furvive la partie A k', alors traçant la courbe k'f' Q, qui foit telle que Rf' foit à R F comme A k' eft à AK; cette courbe k'f'Q exprimera la mortalité des inoculés. Donc la vie moyenne des inoculés A K' fera représentée par l'aire Ak'f'Q

A K'

AK FQ A k'
AK'

; & fi on fait AA=

AK'

& R' O = A ▲, AR' marquera le tems que les inoculés AK' peuvent raifonnablement efpérer de vivre.

12. Il s'agit à préfent de favoir quelle feroit la mortalité des perfonnes AK' (dont on fuppofe qu'aucune n'a eu la petite Vérole) fi toutes ces perfonnes s'abandonnoient à la nature. Il eft d'abord évident que cette mortalité sera la même (c'est-à-dire, que le nombre des furvivans après un tems quelconque, sera dans le même rapport avec AK') foit que le nombre A K' représente toutes les perfonnes qui n'ont point eu la petite Vérole fur le nombre AK des vivans au même âge, foit qu'il

L'INOCULATION n'en représente qu'une partie. Suppofons donc que AK' représente toutes les perfonnes de même âge, & habitantes d'un même lieu, qui n'ont point eu la petite Vérole; & que K'E Q (fig. 4.) foit leur courbe de mortalité. Soit RE' =u' le nombre de personnes reftantes après le tems AR fur le nombre AK' de ceux qui n'ont point encore eu la petite Vérole à l'instant A; il eft clair d'abord que fi toutes les perfonnes u'avoient eû la petite Vérole, on auroit du'

u' dz

, pour le nombre de perfonnes qui mourroient pendant le petit tems dt; à quoi il faut ajouter le nombre + du de ceux qui meurent dans ce même-tems de la petite Vérole.

Donc du'

+du; or on a trouvé plus

u' dz