hvilken jämväl satisfierar (6). Ur (5) och (8) följer nu

Den ena af komponenterna i det först sökta linjeparet representeras följaktligen af hvilkendera som hälst af de parallella räta linjer, hvilkas ekvv. utgöras af dubbelekvationen

(10)

y = px±V p F(p− 1 ) + r2.

Det är nu klart, att den sökta kroklinjen kan helt enkelt uppfattas såsom envelopp till hvilkendera komponenten i linjeparet (2) som hälst och således till hvilkendera som hälst af räta linjerna (10). Men som dessa senare äro parallella med hvarandra, kan man i stället för den ena af dem taga det af dem sammansatta linjeparet, hvars ekv. är

och hvilken för sin rationella form är att föredragas framför (10). Kroklinjen utgöres följaktligen af enveloppen till det rörliga linjeparet (11), däri p är en variabel parameter och F betecknar en arbiträr funktion, och finnes, såsnart formen för F är gifven, enligt de vanliga reglerna för enveloppers bestämmande.

p2(x2-C2) — 2 p (xy + C'2) y2 — p2 + C2 + 0,

hvartill enveloppen är

(x2—C2) (y2 — r2 + C2) = (xy + C22)2

1) Ett linjepars ekv. är produkten af komponenternas ekavationer, då i dem hvardera samtliga termer äro samlade till samma membrum.

eller

12)

(r2—-C2) x2÷C2y2+2 C12 xy = C2 (r2—C2)—C11‚

hvilken representerar en konisk sektion med medelpunkt och för C'0 antager sin enklaste form.

II.

Kroklinjer, hvilka synas under en rätvinkel från

en rätlinje eller envelopperas af ett rätvinkligt och rätlinjigt linjepar, hvars topp beskrifver denna räta linje.

Tages denna till y-axel, bör enligt ekv. (3)

däri, liksom förut, p är en variabel parameter och F en arbiträr funktion.

Selns ekvation, hvilken genom tranformationen y=y'—C', -x'-C reduceras till

Rotutdragning ur substitutioner.

Af

S. Levänen.

I substitutionsteorin brukar man icke utförligare behandla rotutdragningen eller radikationen, troligen därför, att de frågor, som hittills blifvit lösta medels denna teori, ledt endast till de aldra enklaste fall af radikation. Likväl är detta räknesätt i formelt hänseende ganska anmärkningsvärdt på grund af den mångtydighet, som resultatet i vissa fall kan hafva. Vi erkänna genast att vi icke uttömt teorin för i fråga varande operation eller uppstält allmängiltiga lagar för densamma. Vår afsikt med detta meddelande är också att fästa uppmärksamheten på ämnet genom att ur åtskilliga såsom exempel valda substitutioner utdraga en viss rot och visa huru många olika värden resultatet vis-à-vis en omfattande klass af substitutioner kan hafva, för att därigenom uppmuntra intresserade läsare till att utforska den lagbundenhet, som häri sannolikt förefinnes, men som för oss är obekant. Vi skola inleda vår undersökning med speciella exempel. Antag att (1) s=(abc) (defg),

däri (abc) och (defg) beteckna cykliska substitutioner af de inom () inneslutna bokstäfverna af resp. 3:dje och 4:de ordningen. Deras produkt, betraktad såsom en enda s:n (substitution) är då af 3.4 12:te ordningen 1), och det frågas, hvilken s:n, s, är så beskaffad, att dess 5:te potens (d.v.s.s:n, multiplicerad 4 gånger med sig själf) är lika med den gifna,

=

1) Vi förutsätta att läsaren är bekant med begynnelsegrunderna af substitutionsteorin, hvilka lätt kunna inhämtas t. ex. ur Petersén, Theor. d. algebr. Gleichungen, Kopenhag. 1878, eller Serret, Algèbre supérieure, Paris 1885.

irreguljära s:n (abc) (defg)? Vi behöfva endast bestämma ett helt och positift tal x så, att

däri y jämväl beteckar ett helt tal. Ty nu är

d. v. s. den obekanta s:n, s, utgör en viss potens, med ett positift hellt tal till exponent 1), af s5 eller af s:n (abc) (defg). För detta ändamål fordras endast, att

Denna diofantiska likhet kan nu lösas med hela och positiva tal. Man har näml.

då t betecknar hvilket positift helt tal som hälst. Taga vi det minsta värdet på x, näml. 5, få vi

(s5)5 = s25 = s2 · 12.s=s=(abc)5 (defg)5 = (abc)3+2 (defg)*+1; = (abc)2 (defg)1 = (acb) (defg), d. v. s.

hvilket resultat är rätt, såsom verifikationen utvisar. Vi taga vidare exemplet

1) Negativa helttals exponenter behöfva icke nödvändigt uteslutas, emedan det är klart, att en negativ exponent alltid kan ersättas af en positiv sådan. Är t. ex. sn = 1, kan s a skrifvasskn s kn-a däri k alltid kan väljas så, att kna blir ett positift helt tal.

--

8

α