Perna Fasarby Vik. Fredrikshamn: 1) Bamböle träsk, 2) Södra Karelen. Jääskis: 1) Ehatusfjärd, 2) Wuoksen. Kronoborg: 1) Kronoborgs å, 2) Tervus 1) IV 30, 2) IV 3) IV 27, 4) V 19 å, 3) Ladoga, 4) skärgården X31;XI5;14;XII9| *) X 29, 3) XI 2)X125; XII20 1) XI 21-25 1) X 21; 29, 2) 4) XI 19 XI 2 Eräjärvi träsk Ruovesi: 1) Tapiovesi, Jäminkiselkä, vesi. Tavastland. Tammela: Kaukjärvi, Lammi, Pyhäjärvi Sysmä: 1) Nuoramoisjärvi, 2) Päijänne Norra karelen. Pelkjärvi: Pelkjärvi sjö Kiihtelysvaara: 1) Jukajärvi, 2) Kaste- Nurmes: 1) Nurmijärvi 2) Pielisjärvi Uleåb.: 1) Elfven, 2) Fjärden, 3) Hafvet Öfvertorneå: Torneåelf 1) IV 30-V 9 2)V10-22 3)V25 1) X 28 V 14-22 2)X 29−XI 6 X 21-26 Kemiträsk: 1) Kemielf, 2) Pöyliöjärvi. Lappland. Kittilä: 1) Ounasjoki, 2) Aakennusjoki 1)V24-272) V22 1) X 22 Enare: 1) Alojoki, 2) Joenjoki, 3) Kaa- 1)V14,2)V18— 5) VI 18, 6)VI 23, 2) X 15, 3)X 19 5) 6) X 20, 7)XI18 masjoki, 4) Tanaelf, 5) Wastusjärvi, 31, 3) VI 3,4) VI4 7)VI 26 6) Muddusjärvi, 7) Enare sjö. En metod för upplösande af tal i faktorer. Af S. Levänen. Redan i elementära läroböcker i algebra bevisas satsen att produkten af tvenne tal, som hvardera utgöra en summa af tvenne kvadrater, jämväl utgör en summa af tvenne kvadrater" (Bergroth & Mellbergs lärobok i Algebra, sid. 257). Det torde intressera dem, som ej idkat talteoretiska studier, att få se hvilket intressant bruk den högre aritmetiken gör af nämda sats, sedan den likväl blifvit generaliserad. Expressionen Ax2+ Bxy + Cy2, där A, B och Canses som bekanta och oföränderliga, x och y däremot som godtyckligt varierande tal, kallas kvadratisk form. Härtill kommer ännu bestämningen binär, för att skilja i fråga varande form från den ternära formen Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy+Exz+ Fyz, o. s. v. I aritmetiska undersökningar anses hvarje i formen ingående bokstaf representera endast hela tal, såväl positiva som negativa. Vi skola här inskränka oss till hela reella tal och förstå härefter med tal, utan vidare bestämning, just tal af denna beskaffenhet. I det x och y antagas erhålla alla helttalsvärden mellan gränserna ∞ och +∞, framställer formen ett oändligt antal hela tal. Om ett gifvet tal N=Ax2 + Bxy + Cy2, kallas x och y talets N koordinator. För att gifva formen all möjlig frihet, antager man att inga två af koefficienterna hafva en gemensam faktor. Samma antagande göres rörande x och y. Ty i motsatt fall skulle formen kunna framställa endast sådana tal, som äro delbara med en sådan gemensam faktor. En kvadratisk form skiljer sig väsentligen från den linjära formen Ax+ By därigenom, att, medan den senare formen kan framställa hvarje tal, om blott A och B äro relativa primtal, den förra däremot kan representera endast en grupp af tal, hvilka genom karakteristiska egenskaper skilja sig från alla öfriga tal. Så kan formen x2+y2 icke framställa talen 3, 6, 7, 11, 12 o. s. v., utan endast tal af formerna 4n och 4n+1; formen x2+2y2 kan icke gifva något af talen 5, 7, 10, 13 o. s. v.; x2 y2 framställer tal endast af formerna 4n och 4n+3, men icke af formen 4n+2; formen 5x2+7y2 kan endast innehålla talen 5, 7, 12, 27, 33 o. s. v. Häraf ses att de kvadratiska formerna äro egnade att specificera eller gruppera tal och har man äfven sedan Euler's och Lagrange's tider med stor framgång användt dessa former för att göra upptäkter inom den hemlighetsfulla talvärlden. Att ännu högre former, kubiska, bikvadratiska o. s. v., gömma i sig än rikare mångfald af egenskaper hos talen, är själfklart. Vi erinra dessutom om det för alla våra läsare bekanta faktum, att de algebraiska formerna framställa äfven de mest förborgade egenskaperna hos geometriska gestalter, såsom t. ex. fallet är med de kvadr. formerna och koniska sektionerna. Formen Ax2+ Bxy+Cy2 låter upplösa sig i två reella faktorer, hvilka äro af första graden i afseende på x och y, i fall B2-4AC≥0. Dessa faktorer äro däremot komplexa, om B2-4AC <0. I den speciella händelsen B2-4AC=0 äro bägge faktorerna lika och formen bildar en jämn kvadrat 1). Uttrycket B2 4AC kallas formens diskriminant (enl. Gauss: determinant). Man skiljer mellan former med positiv och negativ diskriminant. Vi skola i det följande, af skäl som längre fram skola framträda, hålla oss blott till 1) Alt detta framgår ur identiteten Ax2 + Bxy + Cy (24x+By+y V B2 - 4AC) (24x + By — y V B2 — 4AC). 1 = 44 |