Immagini della pagina
PDF
ePub

(40)

n = m1 n1 + mg ng + · · · + mo no,

uttryckes i fråga varande antal af talet

[merged small][subsumed][ocr errors][merged small]

En rot kan aldrig ha flere än M+1 värden.

Såsom af föregående exempel synes, är det värkliga antalet värden ett mycket nyckfullt tal, hvilket emellertid måste bindas af en bestämd lag. Den ärade läsaren uppmanas till utforskande af denna lag.

P. S. Substitutionsteorin är rik på svåra och ännu olösta frågor. Förnämsta orsaken härtill är den, att produkten af substitutioner i allmänhet icke är kommutativ, på grund hvaraf substitutionskalkylen har att kämpa med samma svårigheter som kvaternionkalkylen. Vi anföra såsom exempel likheten STSU, hvarur s:n S skall bestämmas, då T och U äro bekanta s:r samt produkten STS icke är kommutativ.

Bidrag

till

Experimentell bekräftelse af Bernoullis teorem.

Af

S. Levänen.

I. Sätt att experimentelt bestämma talet, eller förhållandet emellan cirkelns periferi och dess diameter.

1. I ett nyligen härstädes utkommet arbete 1): Sannolikhetskalkylen i korthet framställd af D:r Edvard Selander behandlas följande problem (sid. 45):

Buffons nålproblem. Ett plan är genom parallela, ekvidistanta räta linier indeladt i remsor, en fin cylindrisk nål, hvars längd 2 r är mindre än afståndet a emellan två konsekutiva paraller, kastas godtyckligt på planet. Hvilken är sannolikheten utt nålen träffar en af delnings linierna?

(1)

Räkningen ger för denna sannolikhet σ uttryket

σ =

4r 2)
απ'

,,På experimentell väg, säger förf., har föregående resultat bestyrkts. Poblemet är äfven så tillvida kuriöst som man genom upprepade tillräkligt talrika försök kunde från förhållandet emellan de gynsamma och möjliga fallen sluta till talet, om detta ej annars vore gifvet“.

1) Ingår ursprungligen såsom bihang i Årsberättelse för Wiborgs svenska lyceum för läseåret 1890–91.

2) Skulle i stället för en nål användas en skifva med omkretsen L, hvilken aldrig traffar flera än en parallell i sänder, gäller formeln äfven för denna händelse, blott i stället för 4r sättes L.

Sättes 4ra eller utgör nålens längd precis hälften af afståndet emellan de parallella linjerna, blir

[merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small]

Antag att man i själfva värket gjort ett mycket stort antal k försök eller kast, i det man låter nålen från lämplig höjd k gånger fritt nedfalla på linjerna och därvid räknar antalet träff t emellan nålen och någon af linjerna, så är enligt Bernoullis teorem med en viss grad af approximation

[merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small]
[ocr errors]

=

k
t

Emedan detta kuriösa problem kunde intressera någon läsare af ofvananförda arbete och förmå honom att själf på detta sätt söka finna värdet på, tillåta vi oss att här anföra de resultat, hvartill vi kommit, då vi för 22 år tillbaka sysselsatte oss med problemet i fråga. Vi uppdrogo på ett halft pappersark 6 parallella och ekvidistanta (denna bestämning är af yttersta vikt) räta linjer samt förfärdigade af trä (tort virke) en prismatisk nål", 2 mm tjock och bred, med vä! jämnade ändytor, och hvars längd så noga som möjligt gjordes 1/2 afståndet emellan två konsekutiva paralleller på pappret. Denna nål eller sticka läto vi fritt falla på papperet med parallellerna, som låg på skrifbordet, från en alns höjd (eller däromkring) och antecknade antalet,,bom" och ,,träff", hvarvid iakttogs att dessa senare, om en af stickans ändkanter skar en parallell, hänfördes, efter ögonmått, till stickans axel eller midtellinje, hvilken representerar den i uppgiften omtalade fina cylindriska nålen. Summa bom och träft gaf antalet,,kast" k. På 11/2 timme kunde 1000 kast medhinnas. Vi använde äfven medhjälpare vid detta arbete. Under loppet af en sommar (år 1869) samlade vi sålunda inalles 30,000 kast. Dessa blefvo likväl icke

alla utförda med samma apparat, t. o. m. ekvidistansen och stickans längd och form (ibland begagnades en cylindrisk sticka, hvilken emellertid har den olägenheten, att den rullar på papperet och därigenom ofta faller utom området för parallellsystemet) varierades tills de lämpligaste dimensionerna blefvo funna. Försöksmaterialet är därför något inhomogent, hvilken omständighet delvis torde förklara de oregelbundenheter, hvilka visa sig i synnerhet i början af följande tabell (kolumnen 4 & 8), som upptager några af de erhållna resultaten och därpå grundade uträkningar.

[merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]

Talen i kolumn. 5 i föregående tabell angifva sannolika eller medianafvikelsen för träff, uträknad enligt formeln

(5) r(t)=0.476937√2k14 (1–4).VE" = {0.49719—1} Vk=

Π

0.31419 Vk.

Så är t. ex. för 30,000 kast r(t) =54 och betyder att vid detta antal kast kan antalet erhållna träff skilja sig från det teo

k

retiska antalet träff =

π

k 3.14159

(kolumn. 3) med ett tal,

som med lika sannolikhet kan vara <54 som > 54. De värkliga afvikelserna för träff (kolumn. 4) äro likväl, med undantag af talen i tabellens början, samtligen mindre än medianafvikelsen.

·(6)

Genom differentiation af likheten (1) erhålles

dπ 2π dm-π·
απ =

dt 2)
9
t

däri dm beteknar felet i bestämningen af förhållandet emellan stickans längd och ekvidistansen eller afståndet emellan två konsekutiva paralleller. Sättes dt =r(t), erhålles formeln r(x) = π r(t)

·(7)

{0.49149}

=

t

V k

[blocks in formation]

enligt hvilken talen i kol. 8 äro beräknade, hvilka angifva k sannolika eller medinafelet i den motsvarande kvoten

t

(kol. 6), hvilken utgör ett approximeradt värde på π. Så uttrycker talet 0.0179 för 30,000 kast, att det däremot sva

1) Antages i början alldeles obekant, väntar man med uträkningarna tills några tusen kast blifvit gjorda och я därigenom blifvit bestämdt med den ringa grad af noggranhet (t. ex. på 2 decimaler), som i fråga varande kakyler erfordra.

- 9.87

рå л.

2) Den senare termen i detta uttryck har värdet

dt

[merged small][ocr errors]

k' som låter bedöma inflyttndet af dt på det erhållna värdet

« IndietroContinua »