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OPUSCULES MATHÉMATIQUES.

SEIZIÉME MÉMOIRE.

I.

Effais fur les Moyens de perfectionner les Verres Optiques.

CHAPITRE PREMIER.

Formules générales relatives au foyer d'une lentille compofée de plufieurs matieres. §. I. Détermination générale du foyer d'une furface Sphérique quelconque.

SOIT

OIT B D (fig. 1.) une furface fphérique, dont BC foit l'axe, & Cle centre, Aun point rayonnant placé dans l'axe, AD un rayon incident qui tombe affez près du rayon ou de l'axe AB, pour que les angles B AD, BCD puiffent être regardés & traités comme affez peOpufc. Math. Tome III.

A

tits, DFG le rayon rompu qui concourt avec l'axe en G; foient menées les perpendiculaires CE, CFaux rayons AD, DG; foient nommés enfuite

AB.

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Le rapport du sinus de C D E au finus de CDF..

Enforte que fin. C D F = m fin. C D E ;
D'où il s'enfuit que fi on nomme

Le finus C E pour le rayon r,
Ou aura le finus CF. ..

Il eft vifible de plus qu'on aura
Le finus O D.

BO= à très-peu-près.

AD=V (T+

.

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u, mu;

=r fin. x

r fin. x2

r fin. x

2

')' + r r fin. x2;

2

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D'où en faisant ♪+r=w, & négligeant les quatriémes puiffances de sin. x, on aura

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cof. B CD; or fin. B CD=fin. x; cof. C D F

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-; fin. CDF

; cof. B CD

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Cette quantité, en remettant pour ∞ sa valeur ♪+r

eft à peu-près égale à celle-ci

m(s+r)2 ·m2 (r+d)2

+

223

2 Ꮄ Ꮄ

I

1

:

772

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m3 (r + d) 3

2 Ꮄ 3 7

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2. Telle eft l'expreffion de la valeur de BG, que j'ai mise sous cette forme, parce qu'elle m'a paru plus commode pour les conféquences que j'en tirerai dans la fuite.

3. Si l'on veut avoir la valeur de BG, fans rien négliger, on confidérera que le rayon incident AD eft =Vdd+2rd (1-col.x)+2rr—2 r2 cof.x=V♪♪+2rw(1—col.x);

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CG=

; par conféquent

m w r

2

v[dd+zrw(1— col. x) — m22 fin. x2]-mw col.x rV♪d+2 rw (1-col. x) — m2 w2 fin. x2+mwr(1-col.x) Et BG='V ♪♪+2 rw (1—col. x) — m2 w V[dd+2rw(1—cof. x) —m2 w2 fin. x2]-mw col. x

+

I

m w col. x

? Vad +2 rw ( 1 — cof. x)

mw r (1—

I

cof. x)

2

x2

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✓ [dd + 2 rw ( I . · cof. x) — m2 w2 fin, x2] - mw cof. x 4. Si dans cette formule on met à la place de cof. x

fa valeur approchée 1

fin. x2

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& qu'on néglige les puiffances de fin. x, plus hautes que la feconde (& même que la troifiéme, car cof. x ne renferme que des puiffances paires de fin. x) on aura

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5. Si l'on vouloit pouffer encore la précision plus loin, on n'auroit qu'à mettre au lieu de cof. x, fa valeur

-fin. x développée en ferie ; c'eft-à-dire, 1 —

VI

fin. x2

fin. x4

8

16

fin. x &c. & l'on poufferoit l'exacti

tude jusqu'aux puiffances fin. x4 & au-delà. Mais dans la présente recherche ce degré de précision ne paroît pas nécessaire.

6. Soit OD=6, on aura fin. x = —

de BG deviendra 1 :
:[

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6

; & l'expreffion

m62 (d+r)2

+

+

253 rr

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7. Dans cette expression on ne trouve plus la valeur de fin. x, mais celle du demi-diametre 6 de l'ouverture de la lentille ; & à cet égard elle est un peu plus commode que la précédente; auffi nous nous en fervirons de préférence.

8. Il est visible par cette premiere formule, qu'il n'y a que deux quantités qui puiffent faire varier l'expreffion de B G, & empêcher qu'elle ne foit la même pour toutes les espéces de rayons, & pour tous les points de la furface B D. Ces deux quantités font 1°. le rapport m du finus de réfraction au finus d'incidence; lequel rapeft différent pour les différentes efpéces de rayons; 2o. la quantité 6, ou le demi-diametre de l'ouverture de la furface. C'eft-à-dire, que les deux caufes qui font varier B G, font d'une part la diverse réfrangibilité des rayons ; & de l'autre, la fphéricité de la furface B D. Nous ferons pour le présent abstraction de cette derniere cause de variation, à laquelle nous reviendrons

port

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