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345, Ou bien on peut mettre au lieu de —;

& au lieu de fa valeur

I

I

+

2.λ

I

2 X

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27.

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346. Or dans le premier caseft l'inconnue; & dans le fecond &; & jamais dans aucun de ces cas l'équation ne fe réduit au fecond degré, excepté dans certaines fuppofitions particulieres fur le rapport de Mà m. Ce qui peut fervir à vérifier la proposition de M. Newton, pour déterminer en ce cas le rapport de rà r'.

347. En achevant le calcul de la feconde formule, qui paroît plus fimple & plus commode que

miere, on trouvera

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la pre

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M

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2 m

2.m

"M

+

ཱ 1

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348. Si on fuppofe M=1, c'eft-à-dire, s'il y a de l'air renfermé dans la lentille, le terme où eft k3 s'éva

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-

2

-)

349. Or le premier terme vaut (1 — m) (

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350.

que (

2

m2

--).

m + 2

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2 m m

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2 m

( 1 — m)

2 m

Il faut donc, pour que la valeur de k foit réelle,

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2

+4

8

+

m

m3

2

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Ou 37 P2
P2 — ou > 12 P4 + 16 + 1 2 P3;

Ou enfin PP (4P P + 5 — 12 P ) > ( 4 P2 — 4 )3·

352. Soit P

Π

, il eft clair que la condition pré

2

cédente sera impossible, fi II F +5 — 6 11 eft < a. Or F1 est toujours <4; (car il n'y a point de corps diaphane connu qui donne le finus de réfraction double du finus

Π

2

d'incidence; & par conféquent est toujours <2); foit donc = 4 λ, il faudra, pour remplir la condition de l'art. 350, que 16 — 8λ +λλ+5—24 + 6 λ foit > o, c'est-à-dire, que 3 2 AAA foit >o. Donc λ=1+V3+∞, ∞ étant une quantité positive quelconque, ou zéro.

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353. Comme à est positif (puisque 4 → λest <4) il ne faut prendre dans cette équation que la valeur pofitive de ; ce qui donne λ > 2. Or λ doit être ◄ 2, autrement II feroit < 2 & P < 1; ce qui ne fe peur.

354. Donc il eft impoffible de détruire l'aberration de fphéricité avec une lentille également convexe en dehors & également concave en dedans, & dont l'intérieur foit rempli d'air.

355. Mais fi Mn'est pas = 1, c'est-à-dire, si le mifi lieu renfermé dans la lentille eft autre que l'air, alors le Problême est toujours poffible; car en ce cas le terme où se trouve dans l'art. 346, n'est plus =

k3

I

= o, mais =0,

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M) (1 − ¬M +

2

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féquent l'équation eft du troifiéme degré, & l'inconnue

'k, ou réelle.

a au moins une valeur

356. Il faudroit en excepter le cas où l'on auroit 1 —

+

2 M

Ms

M2

o; fi ce cas étoit poffible;

car alors le terme où eft 3 difparoîtroit encore; mais

il eft aifé de voir que jamais 1 --

I

2 M

+

n'efto. Car, pour que cette équation eût

2

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2

Mn'eft

·2 + 2 P3

P

lieu, il faudroit que l'on eût+ 2 P3

— 2 P2 =o. Ce qui ne peut être, P étant positif & se trouvant tout-à-la-fois 1 &<2; car P'>1, donne 2 P3

2 P2 positif & P' <2, donne

P'

positif.

357. Si m étoit 1, ce feroit le cas d'une lentille fimple de deux convexités égales; auquel cas on a vû (art. 25.) que l'aberration ne pouvoit être détruite; auffi l'équation en devient encore alors une équation du fecond degré, qui a fes racines imaginaires.

358. Si dans la formule de l'art. 303, pour rendre l'aberration de fphéricité égale à zero, on fait M

& qu'on mette au lieu de

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lentille de matiere uniforme & de convexités différentes, qui renferme de l'air en fon milieu; ce qui donnera;

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