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il

ed P'3,8cc.). Donc faisant les deux premieres égales i zéro, il restera encore dans la troisiéme une partie non détruite , laquelle fera=-w(2ydP'+214P'3 &c.).

794. Si on anéantit l'aberration des rayons rouges & celle des violets, on aura des équations de cette forme 6+6dP'tgd Plated P'3 &c.=0.

6d P' +9d P?: -ed P'3 &c. = 0. Donc 2 6d P' + 2 d P'3 &c. =0. Donc a tydp/+ &c. = 0.

Ainsi dans l'aberration wž a des rayons moyens , restera encore une partie non détruite ; & égale à w? y d P'2.

795. D'où l'on voit qu'il n'est les aberrations de l'ordre de 62 dpi2; & qu'ainsi il seroit illusoire de chercher une plus grande précision dans la construction des obje&tifs.

796. On a vû même ( art. 791 & 792.) qu'il est comme impossible de se flatter de détruire dans l'aberration les quantités de l'ordre de od P.:,& même de l'ordre de dP'sMais au moins est-il bien certain qu'on ne fauroit se fatter de parvenir à détruire dans l'aberration les quantités de l'ordre de w? d Pl2.

797. Puisqu'il est impossible de faire, évanouir les quantités de l'ordre de w? d P '2 dans l'aberration, en ce cas au lieu de supposer (art. 322.) A

5, on ne fera pas mal de

pas possible de détruire

B

с

D

ra

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10000

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1000

supposer cette quantité = 12 dp', 12 écant un coëfficient qui doit être petit , & qu'on peut d'ailleurs supposer à volonté. Ce qui donnera plus de latitude pour la détermination des quaptités r. & r".

798. On peut remarquer encore que si un des coëfficiens est très-petit par rapport aux autres, on pourra traiter l'équation comme si ce coëfficient n'y étoit pas; car il n'y a qu'à fuppofer l'aberration = 1.0 P!2,7

& faire ce terme égal à celui qui est très-petit par rapport aux autres ; il est visible que par ce moyen ce terme disparoîtra entiérement; ce qui pourra fimplifier les équations.

799. Voici encore de nouvelles remarques qu'on peut
faire sur la matiere que nous traitons.
: Pour que les rayons moyens & les rouges n'ayent
point d’aberration, il faut qu'on ait ,

a =0,
at6d P' foyd P2 +ędP'3, &c, = 0.

Or la condition pour anéantir l'aberration des rayons violets, feroit

- 6d P' +gd p's Ed P'3 , &c. · En ce cas ( art. 793.) il reste dans l'aberration des rayons violets une partie = 2y we d P'? qui ne peut être détruite.

Or fi on négligeoit le terme tyd P'z dans l'aberration des rayons rouges & des violets, on n'auroit

que gd P' de part & d'autre pour l'aberration restante des rayons rouges & violets.

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800. Comme cette partie restante d'aberration est de même signe dans les deux cas, il s'ensuit qu'en ce cas les deux images des aberrations se couvriront (du moins à peu près ) au fond de l'æil; & ne seront chacune que la moitié de ce qu'eût été l'aberration 2 y d p'o du violet , si on n'eût pas négligé dans l'aberration du rouge la quantité y d Piz.

801. Il y a donc de l'avantage, toutes choses égales d'ailleurs, à négliger dans l'aberration des rayons roue ges ou violets le quarré de d P'; paradoxe qui peut paroître singulier , mais qui n'en est pas moins vrai.

802. Soit encore, comme on vient de le supposer dans les art. précéd. l'aberration des rayons moyens = a;& foit a +6dP'+od p's celle des rayons extrêmes (en négligeant les autres termes ); c'est-à-dire, a + 6d P! pour les rayons violets, & a-6d Pl pour les rayons rouges. Il est clair

que

si on fait a=0&6=0, l'aberration restante sera + dp' pour les rayons rouges & les violets. Mais si on fait a=

& 6=0;

gd P.!2

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2

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2

alors l'aberration restante sera

pour les rayons moyens, & +

pour les rayons extrêmes, c'est ; à-dire , sera réduite à la moitié.

803. C'est pourquoi au lieu de faire l'aberration des rayons moyens =0,& celle des rayons extrêmes=0, voici ce qu'on peut essayer pour donner plus de per . fe&tion à l'objectif; soit a l'aberration des rayons moyens,

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a' celle des violets, a" celle des rouges ; il n'y a qu'à faire ai" == "', &&= a'; on réduira la partie restante de l'aberration à la moitié de ce qu'elle auroit été si on eût fait a=0,&a" =a'.

804. Il ne sera peut-être pas inutile de faire voir en terminant cette théorie, comment on peut trouver l'aberration des rayons rouges & violets (l’aberration des rayons moyens étant donnée) en négligeant dans l'aberration des rayons extrêmes les quantités de l'ordre de d Pli ou de d P'4 ou au-delà. Pour cela on remarquera d'abord que l'aberration a des rayons moyens est une fonction de P' & de P, dans laquelle il faudra mettre P'td P' au lieu de P', & P + P au lieu de P, pour avoir l'aberration des rayons extrêmes.

805. Soit donc proposé de trouver la valeur de Q ( x + 5,2+ $ ) c'est-à-dire , d'une fonction donnée de x + ¢ & de z + S. Ę & S étant très-petites. J'ai démontré ailleurs (a), qu'en supposant 2+conftant , on auroit 0(x+;7+5)=Q(x,7 +5)+

+= x ){4 + (*i+?) Ę? dd (0,*,{+5) & d3 0 (4,2+5)

+

&c. 806. Maintenant en faisant x constant, &7+ { variable, on aura

5 d (0%,3) $ ? Q (4,2+3)=Q x,,+

d x

+

Х

d x2

3

d x3

Х

d?

2

(a) Recherch. sur le Systême du Monde , premiere Partie , article 39. Opusc. Math. Tome III.

Tt

d z2

dz

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2

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X

dadz

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dd(0 , *, ?) Ç: ds 0 (%, ??

; do (x,+5) d(0*, ) ç d d (0%,) d x

d' x

dad; d3 (0*, 3)

23

d4 (0%,?) X

&c. dxd32

3 dxd73 ddo (*, 3+5)

dd (ox,7) & ds ( 02,3) dx

d xa

d x2 dq d4 (4*,?)

&c. d x2 dzo 807. Dans ces formules il faut remarquer que d do X,?

marque la différence de o x, z en faisant varier x seule , ensuite la différence de cette différence en faisant varier z seule , le tout divisé par do dz; de même

d! **;? désigne la différence de @ %, z en faifant varier d'abord x seule, puis en faisant varier deux

Q*,? fois de suite z seule; & en général

désigne

d*" dz" la différence de o 4,7, prise m+n fois, d'abord en faisant varier x seule m fois de suite , puis en faifant varier

2

seule fois de suite. 808. Doncq (x+5,2+3)=9x, 2+ ç d (0X, 3)

& dd ($ *, ?) dzi

de 2 dd (0x, ?)

& 3.d? (@x,7) +

+ &c.

4 × 4 809. Donc en général on aura

d x dz2

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n

n2

=

Ed (0*,?)

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2

dz2

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