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2dP

4,8

P =1,552

I

P
P

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55

PI
pi

2 d P
ар:

IS 5

P

>

idP
dp

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car la plus grande valeur de ( trouvée par M. Zeiher) étant 4, 8, la plus petite valeur de

à P eft ; or puisque la plus petite valeur de P'est

P.
1,55, la plus grande valeur de is eft
; donc

eft toujours < Au reste , s'il arrivoit qu'on eût deux matieres qui donnaffent

alors il faudroit modifier relativement à ces matieres la proposition de l'art. 98; ce qui ne nuiroit en rien à notre Théorie, & seroit même avantageux dans la construction des Lu, nettes.

2o. On voit aussi que dans l'art. 352, 11 n'est pas nécessairement < 4; & que par conséquent on pourroit avoir 11 +5-6II > 0, si étoit > s. Il est vrai que

dans les matieres transparentes formées jusqu'ici par M. Zeiher, la plus grande valeur de ou 2 P eft 2 x 2,018=4,036. Mais enfin si on pouvoit parvenir à former une matiere transparente dans laquelle fût >s, ou P> , cette matiere pourroit (art. 354.).donner des lentilles simples, qui contiendroient de l'air dans leur intérieur , & qui étant également convexes en-dehors & également concaves en-dedans, seroient exemptes de l'aberration de sphéricité. Mais ces lentilles (art. 764.) ne pourroient détruire l'aberration de réfrangibilité,

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3

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30. Puisque M. Zeiher a découvert que P' restant le même ou à peu près, d P' peut augmenter à volonté, ne pourroit-on- pas en conclure que P'augmentant, d P' peut diminuer? C'est en effet ce qui a lieu dans la premiere espéce de verre de M. Zeiher , comparée au Flintglas ; car dans cette espéce P' =1,064,& 1, 354; tandis

que

dans le Flintglas P' =1,598, ou tout au plus 1,6,&

=1,500. 4o. Cette conclusion, que d P' n'augmente pas toujours, quand P'augmente, apporte encore quelques modifications à la démonstration de l'art. 96; mais encore une fois la proposition démontrée subsiste toujours. Voyez ci-dessus no. 1. de cette Appendice.

so. Puisque P augmentant, d P peut ne pas augmenter, & peut même diminuer, il est aisé d'en conclure

Log. P + dp que

n'est point égal à une conftante a, Log. P comme M. Euler le suppose. En effet il faudroit pour cela que

P + P fût=P~=P k exprimant un très-petit nombre positif; donc d P seroit à peu près = =P (Pt-I), quantité qui augmente évidemment quand P augmente; puisque P eft-> 1, & que k est une fraction positive.

Ainsi la supposition de P+dP P", qui n'étoit pas suffisamment détruite (art. 894.) par les expériences connues jusqu'ici, paroît l'être entiérement par les expériences de M. Zeiher.

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6°. Puisque d P peut diminuer lorsque P augmente; ne seroit-il pas pollible qu'il devînt = 0,

= 0, c'est-à-dire, qu'on eût une matiere qui ne produisit aucune dispers sion dans les rayons ?

7o. Au reste , quand on parviendroit à former des marieres dans lesquelles la dispersion des rayons fûc absolument nulle; les lentilles simples formées de ces matieres seroient bien exemptes de l'aberration de réfrangibilité, mais non (art. 168.) de celle de sphéricité. Mais on pourroit (art. 362. ) détruire les deux aberrations dans une pareille lentille , en supposant que l'ins térieur en fût vuide, & en se conformant d'ailleurs aux conditions énoncées dans cet article 362.

8o. La découverte de M. Zeiher peut être fort utile pour

la construction des lunettes dont nous avons parlé $. XI. Chap. VII. En effet dans une des dernieres espéces de verre , formées par M. Zeiher, on a trouvé

dP' (P-1) P'=2,018, & '

dP (P-1) ; & dans une autre espéce, on a

IP (P-1) P=1,01, &

= 3; donc

dP(p' - i) ; ce qui donne une augmentation assez considérable pour les lunettes dont il s'agit. : 90. Mais ce qui rend fur-tout importante la décou. verte de M. Zeiher, c'est que les quantités P' & dP'; & même. P.& d P pouvant être rendues telles qu'on

d P! dP

= 4,8; donc

48 x 550

10 X 1018

2640
IOT8

dP
dP

165

3:55

61

61

veut (ou à peu près ) on pourra donner à ces quantités des valeurs telles, que les valeurs de r, r', r", &c. qui en résultent, soient les plus avantageuses qu'il se puisse. Or il faut pour cela, 1o. que les rayons r, r'r'', &c. soient les plus grands qu'il est poslible; ce qui done nera ( art. 206.) le moyen d'augmenter l'ouverture ; 2°. que les équations qui donnent les valeurs de r, r', r!!! &c. en R, ayent des racines égales autant qu'il se pourra; ce qui (art. 746.) rendra moins à craindre les petites erreurs qu'on pourroit commettre dans la cours bure qu'il faut donner aux verres.

L'équation finale du second dégré à laquelle on arrive (art. 205 & 762.) dans le cas de deux matieres & de trois surfaces, ou dans le cas de deux matieres & de quatre surfaces avec de l'air entre deux , & l'équation finale du quatriéme dégré à laquelle on arrive ( art. 770.) dans le cas de quatre surfaces & de deux matieres dont l'une soit renfermée au-dedans de l'aus tre , sont telles, que ces équations étans une fois résolues, les valeurs de r', r",,"" se déduisent de celle de

p en a (& par conséquent en R) par des équations du premier dégré; d'où il est aisé de conclure que dès qu'une des quantités r, r', r", &c. aura deux ou plusieurs valeurs égales, les autres auront aussi chacune autant de valeurs égales ; il suffira donc de chercher les conditions propres à donner deux valeurs égales à la seule quantité r. Cela posé, Opusc. Math. Tome III,

Fff

rou de

ou k.

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dk ар

ар Il y a ici trois indéterminées P, P' &

dpi Supposons quatre rayons rer', r",

q". Pour

que

les quantités qui les expriment soient les plus grandes qu'il est possible, il faut différencier leurs valeurs, en faisant varier P, P' & k, ce qui donnera quatre équations, desquelles chassant

on aura deux équations en P, P', k.

Or pour que r ait deux valeurs égales, on aura encore une nouvelle équation en P, P', k; ainsi ces trois équations donneront les valeurs de P, P', k, les plus propres à rendre l'objectif aussi parfait qu'il est possible.

Comme il y a quatre rayons r, r', r",-'' dans deux cas; savoir dans celui d'un objectif formé de deux matieres avec de l'air entre deux, & dans celui d'un objectif formé de deux matieres, dont l'une foit renfermée au-dedans de l'autre; on cherchera les trois équations indiquées ci-dessus en P, P', k, pour chacun de ces deux cas; & on verra quel est celui d'où il résulte les valeurs de rer',r", -"", les plus favorables à la construction.

Ce n'est pas tout. Comme la condition qui doit donner à'r deux valeurs égales , n'est pas essentielle à la nature du Problême, mais seulement utile pour faciliter la construction des lentilles, on pourra ( si l'on se croit assez sûr de son exactitude dans la construction de ces lentilles) négliger cette condition, & y en fubfti,

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