145. Ceci paroît contradictoire à ce que nous avons avancé plus haut, art. 104, que dans le cas où on n'employe que trois rayons r, r', r", & deux matieres différentes, on ne fauroit affigner en général pour quelque diftance que ce foit, le rapport de e à f, parce qu'on a plus d'équations que d'indéterminées. Au contraire, dans l'art. précédent, nous paroiffons avoir une indéterminée de trop, quoique le cas foit le même. Mais .il y a ici une confidération importante à faire.

146. Les trois équations qui expriment les valeurs de

d P'

d P

les

renferment à quelques-uns de leurs termes, quantités e, f, que dans l'art. 104 déja cité, nous traitions comme très-petites par rapport à ♪, & aux rayons r, r', r"; c'eft pourquoi ayant déja trouvé (art. 33.) indépendamment de la confidération des épaiffeurs, une équation en termes finis entre & les quantités r, r', r", nous faifions une autre équation féparée des termes qui contenoient e, f, &c.

d P'
d P

147. Or, si nous en ufions de même dans l'art. 144; en regardant e, f comme très petites, nous aurions plus d'équations que d'indéterminées. Car il faudroit 1°. des équations particulieres pour les termes où ne fe trouveroient ni e, ni f; 2°. des équations particulieres pour les termes où se trouveroient e & f; & il eft aifé de voir que cette opération multipliera les équations, & en donnera plus qu'il n'y a d'indéterminées.

148. Mais, dira-t-on, pourquoi multiplier les équations de la forte? Ne fuffiroit-il pas de prendre dans ces équations tous les termes à la fois? Je réponds 1°. qu'en s'y prenant ainsi, on auroit des valeurs de e & de fex primés en r, r', r", & par conféquent en quantités finies; & que non-feulement ces valeurs pourroient être trèsgrandes, ce qui eft contre l'intention du Problême, qui demande que les épaiffeurs e, f, foient petites; mais encore qu'elles pourroient être abfolument illufoires. Car il est évident que e, par exemple, ne fauroit être plus grand que ; fi donc on trouvoit une vai leur de e plus grande que +

2

il eft clair ,

que

la

folution feroit impoffible dans l'exécution. 2°. Suppofons qu'on ait deux équations de cette forme A'+ e B' +ƒC' = = 0, D' + c E'+ƒF' =0 dans lesquelles A' soit une fonction des quantités finies & indéterminées a, b, g, ainsi que B', C', D', E', F'; & que e, f, foient des quantités très-petites par rapport à a, b, gi je dis qu'on doit fuppofer féparément A'o, e B'+ fC'= 0; D'o, e E' +ƒF'o. Autrement on auroit une valeur de e & une valeur de f, exprimées en termes finis, lefquelles valeurs par conféquent ne seroient pas très-petites, comme on le fuppofe & comme on l'exige.

149. En fuppofant A'+e B'+f C' =o‚D'+eE' +ƒF': o, on n'a que deux équations qui donnent

une valeur de e, & une de f; & les quantités a, b, g, reftent indéterminées; mais en prenant A'o, e B' + fc' = =o‚D'=0,e E'ƒF'o, on a trois équations qui fixent les indéterminées a, b, g, ou plutôt les rapports→→→ à de certaines valeurs, favoir à celles

b

g

qui font déterminées par les trois équations A' = o, F ; on a donc plus d'équations qu'il

D'=

C'

'B'

E'

n'en faut pour déterminer ces rapports. Pour lors une des deux indéterminées e, f, eft à volonté ; l'autre fe déterminant par l'équation e B'+f Co, ou e E' + fF'=0.

150. Si on avoit A'+e B' +ƒ C' = o; e E' + ƒF = 0; e G' +ƒ H' = o ; équations qui résulteroient de celles de l'art. 144, on auroit de même trois équa

que déterminé; ce qui s'accorde avec l'art. 104.

151. La méthode de l'art. 144, pour déterminer ƒ, a, b, g, n'est donc bonne que dans le cas où par f, le résultat du calcul, e, f se trouveroient affez petites par rapport aux rayons a, b, g. Dans tout autre cas elle eft fautive, & feroit même entiérement illufoire, fi e, f, étoient telles que e ou ffe trouvassent plus gran

152. Nous ferons à cette occafion, & comme en passant, une autre remarque d'analyse qui est analogue à celle de l'art. précédent, & qui pourra être de quelqu'utilité en d'autres occafions. Soit, par exemple, l'équation du fecond degré xx+px+9=0, dans laquelle x doit être fort petite; les méthodes ordinaires donnent par approximation x=— ; cependant cette équa

q

P

9

k

& p + 1/

P

P

-

Left (hyp.) fort petit,

P

9

P

+ ; donc

2

P

+

2

P

2

; cette feconde valeur n'est pas très

petite, & fatisfait néanmoins à l'équation x x +p x+ = o. Mais la premiere eft la feule qui doive être employée, parce qu'elle eft la feule qui fatisfasse à la condition fuppofée, que x foit très-petite.

154. Si la diftance ♪ fans être infinie, eft fort grande par rapport aux épaiffeurs e, f, alors on pourra négliger dans les formules de l'art. 126, les termes où se trouvent

EFf.

De

a

Ꭰ

EFI GE) (1 D) + BG ( D/

[플 -승)

b

g

b

a

155. Dans ce cas on aura Lo; & par conféquent les trois équations de l'art. 130. fe réduiront à deux; favoir

On obfervera de plus que dans ce même cas on a

H= (1 ~ LE) (1
f
M= (+

BGD

a

F

a

1. Donc

b g

FBD f

a g

= o ; & d M= 0.

d No, & par, conféquent d H :

156. On aura donc au lieu des deux équations

157. Et comme d H renferme e ouf à tous fes termes, ainfi qu'il eft aifé de le voir par la valeur de la quantité H, il eft vifible que les équations d M= Mo,dHo donneront deux équations de cette forme,

On néglige ici les termes où fe trouveroit le produite f; Opufc. Math. Tome III.

I