faisant avec le même plan un angle dont la tangente foit ; c'est-à-dire, que ces deux derniers axes fe ront entr'eux un angle droit. 27. Or comme chacun de ces deux axes fait déja avec le premier axe un angle droit, puifqu'ils fe trouvent dans un plan perpendiculaire à ce premier axe; il s'enfuit que tout corps a au moins trois axes de rotation poffibles, qui, pris ensemble deux à deux, font toujours entr'eux un angle droit. 28. De-là il est évident que l'équation E+C tang. a22+D tang. a2+F tang. a'30, de l'art. 14, a ses trois racines réelles, & qu'ainfi on peut les trouver toutes les trois directement, ce qui fe peut faire géométriquement & d'une maniere facile par la trifection de l'angle. D 29. En effet, puifque l'équation E+C tang. a'+D tang. a'2+F tang. a'30 a fes trois racines réelles ; il eft clair, par la théorie des équations algébriques, qu'en faifant tang. a'+ = 3 F tang. z, pour faire évanouir le fecond terme, elle aura cette forme: tang z3 tang. ¿+L=0; dans laquelle le coefficient H du fera négatif, & dans laquelle on aura H terme Htang.z 27 L2 30. Or l'équation pour trouver le tiers x d'un angle donné a, a, (en prenant 1 pour finus total) eft fin. x3 fin. x + *==+120°; x =—+240°. 31. Cela pofé, pour comparer l'équation tang. z 3 — H fin. a tang. z+L=0, à l'équation fin. x3 — 3. fin. x + 4 =o, on mettra d'abord la premiere équation fous cette VH ✓ 3 32. Pour fatisfaire à ces équations, il faut d'abord chercher un angle a dont le finus soit=3Lv3 2HVH le finus total étant I oooooo; on cherchera enfuite les a , angles, +120, 240, dont chacun est = 3 (VH ). à x. On aura enfin tang.z➡sin. x tang.z➡fin. x (V Donc, 1o. log. tang. <= log. 4+lo12 3 fin. 3 2o. log, tang. <= —log. 4+log. fin. (+120). 3 3o. log. tang. 7 — — log. 4+log. fin.(+240). 2 tang., defquelles 33. On aura donc trois valeurs de tang., (article 29) retranchant D 3F, on aura trois valeurs de tang. a'; après quoi on aura tang. K par l'équation tang. 34. Nous venons de voir que quelle que foit la figure du corps, il y a toujours au moins trois axes de rotation poffibles. Nous difons au moins, car il est évident qu'il peut y en avoir beaucoup davantage ; puifque fi le corps tournant eft une sphere, par exemple, toute ligne paffant par le centre à volonté, eft un axe de rotation. 35. De même, fi le corps eft un folide de révolution dont la courbe génératrice foit compofée de deux parties égales & femblables, comme une demie ellipfe par exemple, il eft vifible, qu'outre l'axe de révolution, il peut y avoir encore autant d'axes de rotation que l'équateur du fphéroïde a de diametres, c'est-à-dire, une infinité. 36. Or c'est ce que donnent nos formules. Car dans la fphere, par exemple, on a α= -C; & de plus μ=o, y=o, ao. Donc alors les deux équations de l'article 5 fe réduifent chacune à o=0; ce fait voir qu'on peut prendre à volonté e & K. 37. Si le corps eft un folide de révolution, tel qu'on Ta fuppofé dans l'article 35, alors prenant l'axe de révolution pour l'axe des z, c'est-à-dire, fuppofant dans le second Mémoire des Opufcules Mathématiques, que la ligne fixe AB, qui eft l'axe des foit l'axe même de révolution, on aura μor = 0; w = o ; & fGuu ou a=GTπ ou . وح 38. Donc alors les deux équations de l'article S deviennent fin. e cof. e (a- 6) cof. K = 0. fin. K cof. K [ — 6 lin. e2 — a cof. e2+d]=o; ou fin. K cof. K[(a—6) fin. e2 ]=0. 39. D'où l'on tire l'une des trois conféquences fuivantes; 1o. fin. e=0, & fin. K= à tout ce qu'on voudra. fin. e=1 ; & en ce cas, par la fes 2o. cof. e=0, ou fin. conde équation, cofin. K ou sin. K=0. 3o. fin. e égal à tout ce qu'on voudra, & en ce cas; par la premiere équation, cof. K=0. 40. Or comme e eft le complément de l'angle que la ligne fixe AB ( qui eft ici l'axe de révolution du sphéroïde) fait avec la projection de l'axe de rotation, eft évident que fi on fait comme ci-deffus, a' à ce a'— dernier angle, on aura K: 1o. cof. a' =o, ou a' = 90 dégrés; & fin. K= à tout ce qu'on voudra. 2°. a' = o, & K à zero, ou à 90 dégrés. 41. = 3°. a' à tout ce qu'on voudra, & K=90 dégrés. Donc dans un folide de révolution tel qu'on l'a fuppofé article 35; toute ligne paffant par le centre, & qui fera l'axe de révolution, ou qui fe trouvera dans le plan de l'équateur, fera un axe de rotation poffible. Car la premiere des trois conditions de l'article précédent, donne un diametre quelconque de l'équateur; la feconde donne l'axe de révolution ou un des diametres de l'équateur; & la troisiéme donne un diametre quelconque de l'équateur, que 42. Quelle que foit la figure du corps, il eft clair fi l'on a à-la-fois cof. eo, ou fin. e = 1, & fin. K=0; l'axe de rotation fera la ligne même AB qui a été suppofée fixe fur le plan de projection; or dans ce cas les équations de condition, données dans l'article deviendront fGuz=0, & [Gπz=0, ou μ=0, & w =o. D'où il eft aifé de conclure que fi ces deux équations ont lieu, la ligne qu'on a prise pour fixe, sera l'axe même de rotation; ce qui s'accorde avec les articles 15 & 17. μπ 43. Lorfque l'axe de rotation eft fur le plan même de projection, & qu'il concide avec la ligne fixe, enforte que e foit = 90°; il est très-aisé de voir que les équations ji =0,@= 0, ou Guz = o, /Gazo, ne font autre chofe que les équations ffG fin. § ( a − a—b) = 0, ff G cof. E (a — b) = 0, qui font nécessaires pour la rotation autour de l'axe fuppofé, & qui rendent nulle la fomme des momens des forces centrifuges par rapport à l'axe des z• Ainfi tout s'accorde parfaitement dans nos résultats. 44. Si outre les équations μ=0, wo, on a de plus yo, une des valeurs de tang. K (art. 20) fera infinie, & l'autre nulle, c'eft-à-dire que les deux autres axes feront, l'un dans le plan même de projection, & l'autre perpendiculaire à ce plan; & il eft à remarquer que l'équation yo ou Guo, jointe avec les deux autres équations μ ou Guzo, w ou sGrz=0, rend en effet nulle la fomme des momens des forces centrifuges par rapport à chacun de ces trois axes. |