on a (dans les mêmes fuppofitions) ƒ=A+B cof. E+D cof. 3 E+E cof. 4, &c. ou en général f= A+λq (cof. §), pourvû que o (cof. §) ne contienne point de terme de cette forme C cof. 2; ce qui arrivera si (cof. §) ne renferme que des termes de cette forme fin. ou cof. m, m étant différente de 2. o, 21. On peut remarquer encore que fi cof. E eft de la forme qu'on vient de dire, enforte que sƒƒ G sin. 2 § = o,& fffG col. 2 §=0, on aura auffi ces deux quantités =o, à quelqu'endroit qu'on faffe commencer les . Car alors il n'y auroit qu'à mettre +A au lieu de §, A étant une conftante quelconque, donc me deviendra cof. m & cof. mA cof. m & fin. A; & ± fin. fin. fin. cof. cof. 2 deviendra fin¿ 2 & cof. 24 ± cof. 2 § fin. 2 A; d'où il eft aisé de voir fin. cof. que la fomme totale de ƒƒG (sin. 2 ¿+2A) & ƒƒG col. (2+2A) fera = o. 22. Donc en ce cas, tous les diametres de l'équateur feront des axes naturels de rotation, puifque tous donneront fffG fin. 2 = 0. De plus il eft aifé de voir qu'ils le feront auffi, & par les mêmes raifons, quand même cof. & contiendroit un terme de cette forme y cof. 2, pourvû que fin. 2 ne s'y trouvât pas; car alors de (y cof. 2 cof. 2A-y fin. 2 fin. 2A) × (sin. 2 È cof. 2 A + cof. 2 ¿ sin. 2A) feroito, puifque ƒd§[ ( cof. 2 §)2 — ( fin. 2 §)2] = fde cof. 2: =o. Mais dans ce dernier cas fffG cof. 2 ne feroit pas =o. · 23. γ 23 De même pour que fffG cof. 2 =0, il fuffic que le terme y cof. 2 ne fe trouve point dans cof. &; mais le terme K fin. 2 peut s'y trouver & alors on aura, comme dans l'article précédent, sd x ( y sin. 2 § cof. 2 A+y cof. 2 & fin. 2A) (cof. 2 cof. 2 A — sin. 2 ¿ sin. 2A)=0. Mais alors (Gff fin. 2 ne feroit paso, & on ne pourroit par conféquent fuppofer à volonté un des diametres de l'équateur pour un des axes naturels de rotation. 24. Toutes les remarques que nous avons faites jufqu'ici, ou du moins la plupart de ces remarques, ne font point néceffaires au problême que nous nous propofons de réfoudre, mais elles fervent à jetter du jour fur la rotation des corps autour de leurs axes felon la différence de leurs figures. Passons maintenant à la solution générale cherchée. 25. Nous allons donc donner les valeurs générales de P, ε, ПI pour le cas où Gff cof. 2 n'eft pas & =o, c'est-à-dire, trouver le mouvement du corps lorfque le folide propofé eft de figure quelconque, & n'est animé par aucune force accélératrice. 26. Suppofons d'abord pour un moment R=0; nous prouverons plus bas que cette fuppofition eft permise; en ce cas on aura, en faifant A-C=M, Adп+ ВdП cof. 2PB de cof. I fin. 2 P; Bdr fin. 2 P-cof. П de (A—B cof. 2P) =N'dt cof. П; M(dPde fin. П) —— - Nd fin. I. F dп(A+B cof. 2 P) Donc faifant dt=qd, on a de- В cof. п fin. 2 P B2 cof. II-A cof. П=BN q cof. I fin. 2 P; ; -NqdП fin. П. В cof. п fin. 2 P fa valeur BN cof. I fin. 2 P 27. Donc mettant pour q il viendra B2-A2 BMdP cof. ПI fin. 2 P+M fin. П.dп(A + B cof. 2 P): =dfin. ПI (В2 A2). Cette équation eft facile à intégrer, car on aura dп fin. п tégrale eft P'étant des conftantes égales aux valeurs données de П & P lorfque to; ces conftantes dépendront donc de la valeur initiale de P & de II, qui eft arbitraire & que nous allons fixer dans un moment à être telle que Ro. 28. П étant connue en P, on aura dtqdn (BA2) dn ; & dε = BN cof. I fin. 2 P dп(A+В cof. 2 P) 29. Voyons maintenant quelles font les conditions néceffaires pour que l'on ait R= o. Il faut pour cela qu'au commencement du mouvement lorfque t=0, on ait Ro, ce qui donne, en fuppofant P=P' & п= П', lorsque t=o, les équations fuivantes (articles 26 & 27.) (A+B cof. 2 P') d = Вde cof. I' sin. 2 P' B(A-C) dP cof. II' fin. 2 P' [CA- B2+ BC cof. 2 P'-BA cof. 2 P] dП fin. II'. 30. Maintenant, par les formules données dans nos Opufcules, tome 1, page 99, il eft aifé de voir que fi on appelle p la tangente de l'angle que l'axe des a-b fait avec l'axe de rotation initiale, on aura p2 dп+de cof. п2 (dP+de fin. II)2 = abfciffes ab fera & la vîteffe de di ୧ rotation fera égale à cette vîteffe divisée par 'donc la vîteffe de rotation fera V(dP+de fin. п)2+dп'+de cof. п2 dt 31. De plus qu'on fuppofe dans ces mêmes formules l'inconnue X+P', P' étant comme ci-deffus, articles 4 & 29, la valeur initiale & inconnue de P, & l'angle étant compté depuis l'axe de rotation naturelle dans un plan perpendiculaire à l'axe des a-b; jufqu'à l'axe de rotation initiale; on aura d'abord la valeur de au premier instant par la position connue de l'axe de rotation initiale, l'axe de rotation naturelle étant auffi connu. 32. En effet, il eft effentiel de remarquer, que pour déterminer d'abord l'axe de rotation initiale, on peut supposer au plan de projection telle position qu'on vou = dra; enfuite quand on aura trouvé dans cette hypothèse (par le fecours des formules données page 99, tome premier de nos Opufcules) la pofition de l'axe de rotation initiale, on fera entiérement abstraction de ce plan de projection, & l'angle ' sera égal à l'angle que la tangente p fait avec l'axe de rotation naturelle perpendiculaire à l'axe des abfciffes a-b, qui eft auffi lui-même un axe de rotation naturelle. A l'égard de l'angle P', il doit être tel, que l'angle X-+ P'. foit intercepté entre la tangente p, & la section qu'un plan passant par l'axe des ab, & perpendiculaire au plan de projection dont la position eft inconnue & cherchée, fait avec un plan perpendiculaire à l'axe des a—b, & paffant par le centre C; plan que pour abréger j'appellerai l'équateur. Car la nature de notre folution demande que l'on compte les angles X depuis la commune section de l'équateur avec un plan perpendiculaire au plan de projection, & paffant par l'axe des a - b. 33. Ceci bien entendu, on aura dП2+de2 cof. П'2 = p2 (dP+ de fin. I'2); p2 fin. ('+P') (dP+de fin. ′ )2 = d'¡12; (dP+de fin. П′)2+dП2 + de2 cof. П2 = Q2dť2; Q étant la vîteffe de rotation initiale; d'où l'on tire e Q d t fin. (E+P') dr= Η ΓΙ de fin. П'+dP = |