otterrà, eliminando la t fra le equazioni corrispondenti all'ultima retta, ossia quella che è parallela alla retta rappresentata dalle due equazioni generali più volte ripetute. Ciò posto, l'autore denomina l'angolo compreso dalle due rette, nelle quali cadono i suoi estremi, complesso delle successive deviazioni delle rette appartenenti alla famiglia rappresentata colle due equazioni suddette. Osservando quindi che quest' angolo, o l'arco circolare misura dello stesso, è la curva comune alla porzione anzi detta di superficie conica, ed alla sferica aventi il centro nella origine delle coordinate, ed il raggio eguale all'unità, ne conchiude dopo un breve calcolo questo bel teorema:

"Il quadrato della derivata del complesso delle succes»sive deviazioni delle rette appartenenti alla famiglia rap» presentata dalle due equazioni generali suddette eguaglia la somma dei quadrati dei coseni degli angoli fatti cogli assi delle coordinate dalla retta rappresentata colle » medesime due equazioni generali.

"

Quando le rette rappresentate colle stesse equazioni generali siano tangenti di una curva, le successive deviazioni di esse sono chiamate dall'autore angoli di contingenza di prima specie della curva stessa; e quando siano perpendicolari ai piani osculatori della curva, le medesime successive deviazioni di esse vengono chiamate angoli di contingenza di seconda specie della curva stessa, e sono in sostanza, dice esso, le successive deviazioni diedre degli stessi piani osculatori.

L'autore quindi osserva che nella superficie, luogo di tutte le rette rappresentate colle due equazioni generali, vi è una linea, ogni punto della quale è quello di una delle medesime rette, vicino più di qualunque altro di essa alla prossima di esse medesime, ed indica come essa debbasi determinare.

Assai belli sono i problemi che esso con quella sua eleganza propria va sciogliendo in seguito. Noi non faremo che enunziarli, perchè la loro soluzione ci porterebbe troppo in lungo per le varie formole che contiene. Il lettore farà bene di vederla nella Memoria originale.

1.° « Trovare la derivata del complesso degli angoli " di contingenza di prima e di seconda specie dello spigolo di regresso della superficie sviluppabile tangente una data qualsivoglia lungo una curva pure data.

"

2. Trovare la derivata dell' angolo compreso dalle » due rette condotte dallo stesso punto della linea di contatto tra la superficie qualsivoglia, e la sviluppabile, » l'una tangente a questa linea, e l'altra caratteristica » della medesima superficie sviluppabile.

"

"

"

3. Trovare la derivata del complesso degli angoli »›di contingenza di quella curva piana, nella quale si trasfigura la linea di contatto tra la superficie qualsivoglia, e la sviluppabile, quando questa sia distesa in un piano. 4.o, Trovare la sfera, che ha un contatto di secondo » ordine con una curva esistente in una superficie qualsivoglia, ed il centro nel piano tangente la superficie me» desima nello stesso suo punto di contatto colla curva. » Dopo di aver dato le soluzioni di questi problemi, il ch. autore passa alla contemplazione del contorno della figura dell'area massima o minima tra le isoperimetre, ed esistenti in una superficie qualsivoglia, ciò che costituiva lo scopo principale di questa sua Memoria. È noto il celebre problema degli isoperimetri proposto dal celebre analista Giacomo Bernoulli alla fine del secolo decimosettimo, e da lui sciolto prima dell'invenzione del metodo dei massimi e minimi con metodo particolare. Le figure da lui considerate non erano che in un sol piano. Alcuni geometri che vennero in seguito, fra cui Clairaut, considerarono il caso delle figure isoperimetre esistenti sulla superficie sferica e sullo sferoide. Ora il ch. autore si propone, e scioglie completamente la questione in tutta la sua generalità. Questa si è

« Fra le linee esistenti in una data superficie, ed aventi » lunghezze eguali, ed i termini nei medesimi due punti, » trovare quella che insieme ad una già individuata nella » medesima superficie racchiude la figura della massima » o minima area. »

Faremo qui conoscere il risultato importante trovato dall'autore.

Si riferiscano i punti, le linee e la superficie a tre piani fra loro perpendicolari, uno dei quali passi pei due punti termini dati della linea richiesta; e sia

F(x, y, z) = 0;

l'equazione della superficie data,

y = f(x);

Bibl. Ital. T. LXX.

6

quella di una projezione della linea pure data; e l'ordinata y sia quella perpendicolare al piano, che passa pei due punti termini comuni delle linee. Così si denomini b la lunghezza data di questa linea;

a, c i valori della x corrispondenti ai medesimi due termini di esse; una costante arbitraria, ed S l'arco della linea richiesta. Quest'ultima apparterrà alla famiglia rappresentata simultaneamente dall'equazione

m

F(x, y, z) = 0;

e dalla primitiva completa dell' altra

− m

F(~)-Fo()

' √ ( F' (x)2 → F' (y)2 → F" (z)*)

= 0;

e propriamente sarà quella, per la quale la costante

m,

e le due portate dall'integrazione dell'ultima equazione saranno determinate in modo da rendere identica la

z") dx = b;

√ √ (1 + y2 + 2 ′′ ) dx

e che passi pei due punti pei quali si hanno

x=a; y=f(a); z=F(a,f(a));

x=c; y=f(c); z=F(c, ƒ(c)).

I valori di z dati dalle ultime espressioni sono quelli tratti dalle equazioni, che si ottengono ponendo in luogo di x, y, prima a, f(a); poi c, f(e) in quella della superficie data, e che sono

per cui non si potrebbe passar all'autore per buona la precedente maniera di designarli. Bisogna ritenere al solito, che le variabili con un apice in testa significano le derivate prime delle stesse variabili, e che F(x), F′(y), F(z) indicano le derivate prime della funzione F(x, y, z). per rapporto ax, ay, az.

Dalla soluzione generale passando ai casi particolari, l'autore ne deduce varj importanti corollarj; per esempio nel caso in cui la superficie data sia piana, dimostra

che la linea richiesta deve essere un circolo, come già era noto dopo Bernoulli. Ciò vien pure dimostrato da lui nel caso in cui la superficie data sia la sferica, ed avente il centro nell'origine delle coordinate, come si sapeva sin dai tempi del sullodato Clairaut. L'autore termina la sua Memoria, proponendosi la seguente questione :

.

"Tra le figure isoperimetre esistenti nella stessa super»ficie ordinaria, trovare quella la cui area è maggiore » dell'area d'ogni altra di esse.»

n

E dimostrando il teorema :

"Se una superficie sviluppabile tangente una qualsivoglia lungo una parte continua del contorno di una figura » della massima o minima area, fra le isoperimetre esi» stenti nella medesima superficie qualsivoglia, si disten» derà in un piano, la linea di contatto si trasformerà in » una circolare. »

"

Per le ragioni di già addotte rimandiamo i nostri lettori a vederne l'esposizione nell' opera originale.

Alla Memoria testè analizzata susseguono due note dello stesso autore trattanti, la prima d'una trasformazione della primitiva triplicata fondamentale per la stereometria; la seconda, sopra di una proprietà, che ha luogo tra la caratteristica di una superficie inviluppante, e la linea individuata, lungo la quale le sue inviluppate hanno un contatto di un ordine qualunque con una superficie data. Io ne darò qui i risultati i più importanti.

Si denominino x, y, z le coordinate rettangole di un punto qualunque di una superficie data, λ la lunghezza di una retta tirata da questo punto, ed a, b, c i coseni degli angoli fatti da essa cogli assi delle e le λ, a, b, c siano funzioni date delle Eliminando le x, y dalle tre equazioni

P = x + aλ;

62:

x, y, z;

x, y.

Q = y + bλ; R = z + c2; combinate con quella della superficie data, si avrebbe quella fra le P, Q, R coordinate rettangole della superficie, luogo degli altri termini delle rette λ; ed eliminando, si hanno le due equazioni fra le coordinate rettangole P, Q, R, rappresentanti quella retta, della quale è parte la a

stessa.

Così si denominino p, q, r le coordinate rettangole di quel punto della retta che ha dalla superficie data

>

la distanza t: e Vil volume del corpo compreso fra' le due superficie, nelle quali vi sono i termini delle rette λ, e la porzione intercetta tra queste medesime due di una qualunque di quelle altre superficie, che sono generabili da rette, a seconda delle quali cadano delle particolari. L'autore dopo opportune sostituzioni e trasformazioni giunge ad ottenere la primitiva parziale rispetto alla variabilet della primitiva triplicata esprimente il valore del volume anzidetto, che è la seguente

SS. (12 + B2 + ¦ C21) dxdy;

ove si hanno

4 = c—az'bz,;

— (a' + b, + (ab' — a'b) (b + cz,) + (ba, − ab,) (a + çz') );

C = — (a' b, — a, b' ) ;

z', a, b, c'

dinotano le derivate diz, a, b, c rispetto alla x; e le z,, a, b, c, le derivate di z, a, b, c rispetto alla y.

Dalla precedente espressione l'autore ne deduce varie altre nei casi particolari, che discute in seguito; fra le quali è da rimarcarsi una formola utile per la cubatura delle volte a spicchi, ed un'altra già trovata dai signori Gratognini, Masetti, Gonti, ed anco dall'autore stesso con metodi speciali. In fine si propone, e scioglie varie belle questioni relative a superficie sviluppabili, luoghi dei centri delle curvature sferiche di altre superficie pure sviluppabili. Esse sono le seguenti:

1. Data la curva, spigolo di regresso di una super»ficie sviluppabile, trovare quella che è lo spigolo di re"gresso dell'altra superficie pure sviluppabile, nella quale " vi sono i centri delle curvature sferiche della prima.

2.°" Trovare la derivata del complesso degli angoli " di contingenza di prima specie dello spigolo di regresso » determinata nella proposizione antecedente.

3. Trovare la derivata del complesso degli angoli » di contingenza di seconda specie del medesimo spigolo di " regresso considerato nelle due proposizioni antecedenti.