Immagini della pagina
PDF
ePub

OPUSCUL ES ! MATHÉMATIQUES.

SEIZIÉME MÉMOIRE.

Esais sur les Moyens de perfectionner les Verres

Optiques.

CHAPITRE PREMIER.

Formules générales relatives au foyer d'une

lentille composée de plusieurs matieres. s. I. Détermination générale du foyer d'une surface

Sphérique quelconque. 1.S Soit

BD (fig. 1.) une surface sphérique, dont B C soit l'axe, & Cle centre, Aun point rayonnant placé dans l'axe, AD un rayon incident qui tombe assez près du rayon ou de l'axe AB, pour que les angles B AD, BCD puissent être regardés & traités comme assez peOpusc. Math. Toine III.

A

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

tits, D F G le rayon rompu qui concourt avec l'axe en G;foient menées les perpendiculaires CE,C Faux rayons AD, DG; soient nommés ensuite

...
AB.
CB..
L'angle BCD.
Le rapport du sinus de CDE au sinus de CDF..
Ensorte que sin. C DF=msin.CDE;
D'où il s'ensuit que si on nomme
Le sinus C E pour le rayon r,
Ou aura le sinus C F.

mu; Il est visible de plus qu'on aura Le finus O D..

=rsin. x BO=à très-peu-près. . AD=V Tatr fin. -) +orfin. x;

[ocr errors]

iu;

r fin. x

[ocr errors]

2

[merged small][merged small][ocr errors][subsumed][merged small]
[ocr errors]

q fin. x2

2

V (d+

-) trr fin, *?; D'où en faisant d+r=w, & négligeant les quatriés mes puissances de sin. x, on aura

go w fin. x à- très-peu-près

go w fin. x

w r fin. x2

T

[merged small][ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

Donc CF ou mu=

fin.

mgp2 fin. <3 on

CF On aura de plus

sin. CGF sin. BCD

CG -CDF=fin. BCD cof. CDF F. sin. CDFX cof. BCD; or sin. BCD=sin. x; cof. CDF=à

CF2

m2 w 2 sin. 3 2 très-peu-près i

-; fin.CDF 2 ir

2 oz
CF
m w fin. x
my w 2 sin.x 3

.; cos. BCD on

2 3 fin. x2

Donc

mu

[ocr errors]

2

[merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]

mo)

mrwa

m 6

2

m2

d

2 d3

2 dd

I

m

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors][merged small]

+ (

-)lin.x. Cette quantité, en remettant pour w sa valeur d+r, est à peu-près égale à celle-ci i : [ mo+r) m? (r+0) mn (r + ) 3

-) sin. x? ]. 2. Telle est l'expression de la valeur de BG, que j'ai mise sous cette forme , parce qu'elle m'a paru plus commode pour

les conséquences que j'en tirerai dans la suite. 3.

Si l'on veut avoir la valeur de B G , sans rien négliger , on considérera

rayon

incident A D est -V.dd+2rd (i-co1.x)+271–2 col. x =V84+2rw(1—-colox);

que le

qGn. *

CF d'où l'on tire

en to 2 T W (i
+- - col. x)

CG sin. XV Ad+zrw(1 - cos. x)

2 lin. X2
VIA +27 W (1. - col. x)
m w fin. x col. x

par conséquent vnd +27 - ( 1

cof, *)

mw to CG=

V[+27 Wi-col. x) - mawa sin. *?]-mw cos.* EtBG=V06+2 rw (1-col.x) m? Wo fin. x3+mar(1-col. x)

V[+27 w(1-сof. x) -m*? fin. ]-mw cof. x

[ocr errors][merged small]
[ocr errors]

fin. x2

[ocr errors]

IVAN + 2 rw (r

cof, *) m w g(i

cor. x) Idd +27 w (I cos, x) mw? sin, x2 ) -Mw cos. x 4. Si dans cette formule on met à la place de cof. x fa valeur approchée 1

& qu'on néglige les puissances de fin. x, plus hautes que

la seconde (& même que la troisiéme, car cof. x ne renferme que des puissances paires de sin. x ) on aura

min + gi? sin. ** BG=1:

[" m?.m + r?fin. ? m3..+p3 fin. **

] comme ci2 or dessus.

5. Si l'on vouloit pousser encore la précision plus loin, on n'auroit qu'à mettre au lieu de cos. x , fa valeur V1 line xa développée en serie; c'est-à-dire, I

m

[ocr errors]

2 A3

2 d3 g

fin. x2

sin. x6 &c. & l'on pousseroit l'exactitude jusqu'aux puissances sin. 34 & au-delà. Mais dans la présente recherche ce degré de précision ne paroît

Gin. **

8

16

pas nécessaire.

[ocr errors]
[ocr errors]

2 f f g3

[ocr errors]

6. Soit OD=6, on aura sin.x = ; & l'expression

m 6 (1+r) de B G deviendra i : [

2131 m” (r + d)? 6? m3 62 (+0)

-] 7. Dans cette expression on ne trouve plus la valeur de sip. x, mais celle du demi-diametre 6 de l'ouverture de la lentille; & à cet égard elle est un peu plus commode que la précédente; aussi nous nous en servirons de préférence.

8. Il est visible par cette premiere formule , qu'il n'y a que deux quantités qui puissent faire varier l'expression de B G, & empêcher qu'elle ne soit la même pour toutes les espéces de rayons , & pour tous les points de la surface B D. Ces deux quantités sont 1o. le rapport m du sinus de réfraction au sinus d'incidence ; lequel rapport est différent

pour

les différentes espéces de rayons ; 2°. la quantité 6, ou le demi-diametre de l'ouverture de la surface. C'est-à-dire , que les deux causes qui font varier B G, font d'une part la diverse réfrangibilité des rayons ; & de l'autre , la fphéricité de la surface B D. Nous ferons pour le présent abftration de cette derniere cause de variation, à laquelle nous reviendrons

« IndietroContinua »