VORWORT. Obwohl wir die Hauptwerke über Quaternionen von W. R. Hamilton und P. G. Tait in deutschen Uebersetzungen besitzen1), so hat sich der Quaternionencalcul im ganzen einer doch nur sehr sporadischen Pflege zu erfreuen und wird nur an wenigen Hochschulen Deutschlands zum Gegenstande von Vorlesungen gewählt. Es ist dies übrigens jene aus der Geschichte der Wissenschaften wohlbekannte Thatsache, dass sich neue Ideen und wenn sie noch so fruchtbar sind, nur nach und nach Eingang zu verschaffen vermögen. Und so fehlt es auch hier nicht an Mathematikern, welche sich den Quaternionen gegenüber geradezu ablehnend, ja schroff verhalten. So tritt namentlich H. Scheffler, der Erfinder des Situationscalculs in der Schrift: Die polydimensionalen Grössen und die vollkommenen Primzahlen, Braunschweig 1880, gegen den Hamilton'schen Quaternionencalcul in einer sehr heftigen, ja leidenschaftlichen Weise auf. Nachdem Professor K. W. Unverzagt in seiner Schrift: Ueber die Grundlagen der Rechnung mit Quaternionen, Wiesbaden 1881, in massvoller und objectiver Weise auf die Einwürfe Scheffler's geantwortet hat, so kann ich die sich dafür interessierenden Leser einfach auf diese Schrift verweisen. Ich halte es eben im Interesse der Sache für nothwendig, darüber nicht zu schweigen. Vielfach hört man auch die Behauptung aussprechen, die Hamilton'schen Quaternionen seien nur ein specieller Fall der Grassmann'schen Ausdehnungslehre, eine Meinung, welche offenbar durch den Aufsatz Grassmann's im 12. Bande der Mathematischen Annalen Ueber den Ort der Hamilton'schen Quaternionen in der Ausdehnungslehre" veranlasst sein dürfte. In diesem Aufsatze, der übrigens in die letzten Lebensjahre Grassmann's fällt, wird eigentlich nur die Verwandschaft zwischen der sogenannten inneren und äusseren Multiplication Grassmann's und dem scalar und vector Theil des Quaternions gezeigt. Wegen der ungemeinen Abstractheit der Grassmann'schen Ausdehnungslehre ist übrigens das Aufsuchen der verwandtschaftlichen Beziehungen, welche zwischen beiden Calculen unzweifelhaft bestehen, eine schwierige Aufgabe. Nach den von mir gemachten Erfahrungen glaube ich jedoch behaupten zu können, dass das Studium der Ausdehnungslehre für einen Quaternionisten nicht so viel Schwierigkeiten bieten dürfte als sonst. Jedenfalls wäre zu wünschen, dass diese Frage einer baldigen Lösung zugeführt werde. Unter solchen Umständen bedarf wohl die Veröffentlichung eines Aufsatzes, welcher den Zweck verfolgt, auf möglichst bequeme Weise in die Anwendungen eines neuen Calculs einzuführen, keiner besonderen Rechtfertigung. Was nun die Behandlung der Statik selbst betrifft, so hielt ich es am vortheilhaftesten, das Lehrbuch der Statik von A, F. Möbius zugrunde ') Elemente der Quaternionen von W. R. Hamilton, deutsch von Dr. Paul Glan, Leipzig, J. A. Barth 1882. Elementares Handbuch der Quaternionen von P. G. Tait. Autorisierte deutsche Uebersetzung von Dr. G. v. Scherff, Leipzig, Teubner 1880. zu legen und zwar aus dem Grunde, weil jeder, der sich mit der Statik eingehend beschäftigen will, zu diesem wahrhaft classischen Werke greifen wird. Obwohl Möbius die Gesetze der Statik auf ganz elementare Weise abgeleitet hat, so wird man dennoch finden, dass die Quaternionen jene allgemeine Methode sind, welche ergänzend hinzutritt. So gewinnt namentlich die Theorie der Kräftepaare und Momente durch die Quaternionen an einer Klarheit, wie sie bisher keine andere bekannte Methode gewähren kann. Um den Leser, der an die analytische Behandlung gewöhnt ist, an die neuen Symbole zu gewöhnen und den Uebergang zu denselben zu erleichtern, habe ich sämmtliche Quaternionausdrücke mit möglichster Beibehaltung der Möbius'schen Bezeichnung in die analytische Form übersetzt. Dadurch ist freilich die Darstellung länger ausgefallen als dies mit Quaternionausdrücken allein der Fall wäre, ich hoffe jedoch, dass dabei die Vorzüge der Quaternionen um so deutlicher hervortreten werden. SAAZ, im Mai 1888. Jos. Merten. ANWENDUNG DER HAMILTON'SCHEN QUATERNIONEN AUF DIE STATIK. Theorie der Kräftepaare und der Momente. 1. Ein Vector als Strecke von bestimmter Länge und Richtung hat die Eigenschaft, dass man denselben parallel mit sich selbst an einen beliebigen Punkt des Raumes verlegen kann. Derselbe besitzt somit alle Eigenschaften der Axe eines Kräftepaares und kann daher zur Darstellung desselben verwendet werden. Zur Vermeidung von Missverständnissen werden wir im folgenden ein Kräftepaar durch das Symbol V darstellen, während wir die Kräfte im statischen Sinne mit den griechischen Buchstaben bezeichnen werden. 2. Darstellung eines Kräftepaares durch Vax. Das Moment eines Kräftepaares. Ein Kräftepaar wird im Quaternionencalcül dargestellt durch Vax, worin Fig. I. α= AB den Arm (nach Möbius die Breite) und x AK eine Seitenkraft vorstellt. Nun ist bekanntlich ax. UVαx, Vax TVαx UVax = Tα Tx sin worin TVax den Inhalt des von a und x gebildeten Parallelogramms oder das Moment des Kräftepaares als arithmetische Grösse und UVax einen Einheitsvector, welcher auf der Ebene ax senkrecht steht und den Sinn der Drehung angibt, darstellt. Wird das Kräftepaar statt auf A auf einen beliebigen Punkt C, wobei AC y ist, bezogen, so ist dasselbe dargestellt durch V(α-y)x. Im folgenden soll ein Paar als positiv angesehen werden, wenn die Drehung von einem auf der Ebene desselben stehenden Beobachter im Sinne des Uhrzeiger geschieht, sonst negativ. Zwei Paare, welche in derselben (respective parallelen) Ebene liegen, werden wir als complanar und Paare, welche in verschiedenen Ebenen liegen, als diplanar bezeichnen. 3. Nach der Definition des vorigen Artikels haben somit die Paare ναβ υ. νβα = -Vap entgegengesetzten Sinn und da TVαβ = -TVαβ ist, u. auch entgegengesetzte Momente. Es ist a so ναβ + βα=0 I. d. h, zwei entgegengesetzte Paare heben sich in ihrer Wirkung auf. |
